Welche der folgenden Aussagen sind wahr, falsch?

Question

Aufgabe:

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K und A, B Teilmengen von V . Für jede Teilmenge
C von V bezeichnen wir mit ⟨C⟩ = span(C) ⊂ V die lineare Hülle von C.
Welche der folgenden Aussagen sind wahr, falsch? Geben Sie entweder eine kurze Begründung oder ein Gegenbeispiel.
(a) A ⊆ B impliziert ⟨A⟩ ⊆ ⟨B⟩.
(b) ⟨A⟩ ⊆ ⟨B⟩ impliziert A ⊆ B.
(c) A ⊊ B impliziert ⟨A⟩ ⊊ ⟨B⟩ („X ⊊ Y “ bedeutet „X ist eine Teilmenge von Y und X ̸= Y “)
(d) ⟨A ∪ B⟩ = ⟨⟨A⟩ ∪ ⟨B⟩⟩
(e) ⟨A ∩ B⟩ = ⟨⟨A⟩ ∩ ⟨B⟩⟩
(f) Seien v1, v2, v3 ∈ V . Aus „v1 ist Linearkombination aus v2, v3 “folgt„ v2 ist Linearkombination aus v1, v3“

Answer 1

(a) A ⊆ B impliziert ⟨A⟩ ⊆ ⟨B⟩.  ✓

Wenn sich ein Vektor z als Linearkombination der Elemente

aus A darstellen lässt ( z∈⟨A⟩ ) und alle Elemente von A auch

in B sind ( A ⊆ B ) da ist es eben auch eine Linearkombination

von Elementen aus B, also z∈⟨B⟩.
(b) ⟨A⟩ ⊆ ⟨B⟩ impliziert A ⊆ B.   falsch

Betrachte in ℝ^2 :  \(  \vec{a}=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}   \)  und \(  \vec{b}=\begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}  \).

Sei   A={\( \vec{a}  \)}  und     B={\( \vec{a}, \vec{b}  \)}.

Dann gilt ⟨A⟩ = ⟨B⟩   also auch   ⟨A⟩ ⊆ ⟨B⟩, aber nicht A ⊆ B.

(c) A ⊊ B impliziert ⟨A⟩ ⊊ ⟨B⟩ („X ⊊ Y “ bedeutet „X ist eine Teilmenge von Y und X ̸= Y “)

falsch siehe (b)

(f) Seien v1, v2, v3 ∈ V . Aus „v1 ist Linearkombination aus v2, v3 “folgt„ v2 ist Linearkombination aus v1, v3“ falsch!    Gegenbeispiel mit v1=0*v2+v3  angeben.