Für welche natürlichen Zahlen ist der Bruch \frac{n+17}{n+3} kürzbar?

Question

Aufgabe:

Für welche natürlichen Zahlen ist der Bruch \( \frac{n+17}{n+3} \) kürzbar?

Answer 1

Der ggT ist (n + 17) - (n + 3) = 14

Der Bruch ist kürzbar, wenn Zähler und Nenner durch 2 oder durch 7 teilbar sind.

Für n = 11 + 2k ist der Bruch durch 2 kürzbar und für n = 11 + 7k ist der Bruch durch 7 kürzbar. k ist dabei immer eine ganze Zahl.

Answer 2

Für ungerade \(n\) sind Zähler und Nenner gerade, also durch zwei kürzbar.

Es gibt aber auch gerade \(n\), wie 4 oder 18.

Answer 3

= (n+3+14)/(n+3) = 1+ 14/(n+3)

n= 4 und n= 11 erkennt man schnell zu ganzzahlige Lösungen.

Answer 4

\(\displaystyle {n+17\over n+3} = 1+{14\over n+3} \)

\(\displaystyle T(14) = \{1,2,7,14\} \)

\(\displaystyle {14\over n+3} \)

ist kürzbar, falls

\(\displaystyle n+3 \)

durch (1), 2, 7 oder (14) teilbar ist.

\(\displaystyle 2 \mid n+3 \iff n =  2k-3 \)

\(\displaystyle 7 \mid n+3 \iff n =  7k-3, \quad k \in \Bbb Z \)