Es gilt
\(N(A) =R(A^T)^\perp\) und \(\mathbb R^4 = N(A) \oplus R(A^T)\) als orthogonale Summe von Unterräumen.
Du kennst schon eine Basis von \(N(A)\): \(b=\begin{pmatrix} -1 \\ -1\\0\\1\end{pmatrix}\)
Du brauchst also nur noch die orthogonale Projektion von \(x\) auf den von \(b\) aufgespannten Unterraum berechnen:
\(p=\frac 1{|b|^2}(x\cdot b)b = -b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0\\-1\end{pmatrix}\) - bitte selbst nachrechnen.
Dann ergibt sich
\(q=x-p = \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\1\\2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1\\1\\3\end{pmatrix}\)
