Muss ich für jeden Abschnitt einzeln einen Nachweis mit dem Epsilon-Delta-Kriterium erbringen?

Question

Aufgabe:

Stetigkeit einer abschnittweise definierten Funktion überprüfen.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war die links- und rechtsseitigen Grenzwerte zu überprüfen, allerdings ist das ja ausdrücklich erst bei einer Sprungstelle gefragt. Muss ich für jeden Abschnitt einzeln einen Nachweis mit dem Epsilon-Delta-Kriterium erbringen? Vielen Dank euch im Voraus

Text erkannt:

2. Untersuchen Sie, wo die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig bzw. unstetig ist und von welcher Art die Unstetigkeitsstellen sind. Im Fall von Sprungstellen berechnen Sie die einseitigen Grenzwerte. Skizzieren Sie den Graph von \( f \)
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x-1, & x \leq 0 \\ \sqrt{x}, & 0<x<1 \\ \frac{1}{x-1}, & x \geq 1 \end{array}\right. \)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Hier brauchst du steng genommen gar nichts zu prüfen, weil die Funktion nicht bzw. falsch defniert ist. Für \(x=1\) wird im dritten Fall \(\,\frac{1}{x-1}\,\) durch Null dividiert. Wir heilen den Bug des Augabenstellers:$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x-1 & \text{für }x\le0\\\sqrt x & \text{für }0<x<1\\\frac{1}{x-1} & \text{für }x>1\end{array}\right.$$

Die Stetigkeit der einzelnen Teilfunktionen kannst du voraussetzen. Kritisch sind die Übergangspunkte \(x=0\) und \(x=1\). Wenn eine Funktion stetig in einem Punkt ist, dann erhältst du für alle möglichen Richtungen, aus denen du dich dem Punkt nähern kannst, denselben Grenzwert. Im 1-dimensionalen Fall gibt es nur zwei Richtungen, du kannst dich einem fraglichen Punkt von links oder von rechts nähern.

$$\lim\limits_{x\nearrow0}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}(x-1)=-1$$$$\lim\limits_{x\searrow0}f(x)=\lim\limits_{x\searrow0}\sqrt x=0$$An der Stelle \(x=0\) erhalten wir unterschiedliche Werte für die beiden Grenzwerte. Die Funktion ist unstetig bei \(x=0\) und es liegt eine Sprungstelle vor.

$$\lim\limits_{x\nearrow1}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}\sqrt x=1$$$$\lim\limits_{x\searrow0}f(x)=\lim\limits_{x\searrow1}\frac{1}{x-1}=+\infty$$An der Stelle \(x=1\) erhalten wir unterschiedliche Werte für die beiden Grenzwerte. Die Funktion ist unstetig bei \(x=0\) und es liegt eine rechtsseitige Polstelle vor.

Comments

Vielen Dank für die sehr ausführliche Antwort!! :)

Answer 2

Ich denke mal, dass du die Stetigkeit im Inneren der

einzelnen Abschnitte nicht zeigen musst; denn sowas

wie Stetigkeit einer linearen Funktion bzw. der Wurzelfunktion

habt ihr doch wohl schon bewiesen. Also musst du

nur an den Nahtstellen 0 und 1 untersuchen, wie es da mit

rechts- und linksseitigen Grenzwerten ist.

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Vielen Dank für die Antwort!