Jahreszinssatz 9% bedeutet im Monat 0,75%.
Also Restschuld nach einem Monat \( S_1= 16000\cdot 1,0075 - 240 \)
nach 2 Monaten \( S_2= (16000\cdot 1,0075 - 240)\cdot 1,0075 -240 \)
= \( 16000 \cdot 1,0075^2 - 240 \cdot 1,0075 -240 \)
nach 3 Monaten:
\( S_3=( 16000 \cdot 1,0075^2 - 240 \cdot 1,0075 -240 )\cdot 1,0075 - 240 \)
\( = 16000 \cdot 1,0075^3 - 240 \cdot 1,0075^2 -240\cdot 1,0075 - 240 \)
Wenn man die 240 ausklammert:
\( S_3 = 16000 \cdot 1,0075^3 - 240 \cdot( 1,0075^2 +1,0075 +1) \)
Allgemein also nach n Monaten:
\( S_n = 16000 \cdot 1,0075^n - 240 \cdot( 1,0075^{n-1} +1,0075^{n-2}+ \dots 1,0075+1) \)
In der Klammer das ist die geometrische Summe \( \sum\limits_{k=0}^{n-1} 1,0075^k \)
Dafür gibt es eine Formel, das ist \( \sum\limits_{k=0}^{n-1} 1,0075^k =\frac{1,0075^n - 1 }{1,0075-1} = \frac{1,0075^n - 1 }{0,0075} \)
3 Jahre sind 36 Monate, also bleibt dann
\( S_{36} = 16000 \cdot 1,0075^{36} - 240 \cdot(\frac{1,0075^n - 1 }{0,0075} ) \)
\( = 16000 \cdot 1,30865 - 240 \cdot(\frac{1,30865 - 1 }{0,0075} ) \)
\( = 20938,33 - 240 \cdot 41,1527 = 20938,33 - 9876,65 =11061,68 \)