Welcher Betrag ist nach 3 Jahren noch ausständig?

Question

Aufgabe:

Ein Kredit von 16.000 € soll durch nachschüssige Monatsraten von 240 € getilgt werden.

Die jährlichen Zinsen betragen 9 %.

Welcher Betrag ist nach 3 Jahren noch ausständig?

Richtige Antwort = 10.896,16 € 

Problem/Ansatz:

Keine Ahnung :(

Answer 1

Jahreszinssatz 9% bedeutet im Monat 0,75%.

Also Restschuld nach einem Monat   \( S_1= 16000\cdot 1,0075 - 240  \)

nach 2 Monaten \( S_2= (16000\cdot 1,0075 - 240)\cdot 1,0075 -240  \)

                   =  \( 16000 \cdot 1,0075^2 - 240 \cdot 1,0075 -240  \)

nach 3 Monaten:

\( S_3=( 16000 \cdot 1,0075^2 - 240 \cdot 1,0075 -240 )\cdot 1,0075 - 240 \)

\( = 16000 \cdot 1,0075^3 - 240 \cdot 1,0075^2 -240\cdot 1,0075 - 240 \)

Wenn man die 240 ausklammert:

\( S_3 = 16000 \cdot 1,0075^3 - 240 \cdot(  1,0075^2 +1,0075 +1) \)

Allgemein also nach n Monaten:

\( S_n = 16000 \cdot 1,0075^n - 240 \cdot(  1,0075^{n-1} +1,0075^{n-2}+ \dots 1,0075+1) \)

In der Klammer das ist die  geometrische Summe \(  \sum\limits_{k=0}^{n-1} 1,0075^k \)

Dafür gibt es eine Formel, das ist \(  \sum\limits_{k=0}^{n-1} 1,0075^k =\frac{1,0075^n - 1 }{1,0075-1} = \frac{1,0075^n - 1 }{0,0075} \)

3 Jahre sind 36 Monate, also bleibt dann

\( S_{36} = 16000 \cdot 1,0075^{36} - 240 \cdot(\frac{1,0075^n - 1 }{0,0075} ) \)

\(  = 16000 \cdot 1,30865 - 240 \cdot(\frac{1,30865  - 1 }{0,0075} ) \)

   \(  = 20938,33 - 240 \cdot 41,1527  =  20938,33 - 9876,65 =11061,68 \)

Comments

Du musst mit dem konformen Monatszinsfaktor rechnen, nicht dem relativen.

Leider wurde die Verzinsung wieder nicht explizit genannt.

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Richtige Antwort ist aber... 10.896,16 €

Trotzdem Danke!

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Wie schon in dem anderen Kommentar steht:

konformer Zinsfaktor, das wäre hier

\(   (1+0,09)^{\frac{1}{12}}   - 1 = 0,00720732\)

Wenn du also überall mit 1,00720732  statt 1,0075

rechnest, wird es wohl stimmen.

Answer 2

Ein Kredit von 16.000 € soll durch nachschüssige Monatsraten von 240 € getilgt werden. Die jährlichen Zinsen betragen 9%. Welcher Betrag ist nach 3 Jahren noch ausständig?

16000·1.09^3 - 240·((1.09^(1/12))^36 - 1)/(1.09^(1/12) - 1) = 10896.16

Du siehst, dass ist eigentlich nicht so wild. Wir zinsen den Kredit über 3 Jahre auf und subtrahieren den Endwert der Zahlungsreihe.

Comments

Ich habe damals in den Klausuren immer nach Altklausuren gerechnet von denen wir zwar keine Komplettlösung hatten aber immerhin zu den Aufgaben Kontrollergebnisse.

Wenn man Kontrollergebnisse hat, ist das eigentlich nicht so schwer. Gerade in der Rentenrechnung haben wir eigentlich nur 4 grundlegende Formeln.

Wir können den Barwert oder den Endwert und das bei vorschüsssiger oder nachschüssiger Zahlweise bestimmen. Das sind also erstmal nur 4 Grundformeln. Diese Grundformeln sollte man dann evtl. auch noch zur Rate und nach der Zahldauer auflösen können.

Wenn man dann evtl. noch eine Formelsammlung bei Klausuren verwenden darf, vereinfacht sich jede Aufgabe zu Formel aufschreiben, einsetzen, ausrechnen.