Geometrische Zufallsvariable, Produkt im Erwartungswert.

Question

Guten Tag, liebe Community. Ich habe hier folgende Aufgabe:

Aufgabe:

Es sei X eine geometrisch verteilte Zufallsvariable. Zeigen Sie, dass für alle k∈ℕ gilt:

E[(X(X-1)·...·(X-k+1)] = \( \frac{k!     {(1-p)}^{k}          }{{p}^{k}} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe bisher folgendes berechnet: E[(X(X-1)·...·(X-k+1)] = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{k(k-1)·...·(k-k+1)· {(1-p)}^{k} ·p        } \) = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{k!·{(1-p)}^{k} ·p} \)

Irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{k!·{(1-p)}^{k} ·p} \) = \( \frac{k!   {(1-p)}^{k}          }{{p}^{k}} \), also werd' ich wohl irgendwo ein Fehler gemacht haben.

Vielen Dank für eure Hilfe.

Answer 1

Problematisch ist hier die Doppelbelegung der Variablen. Ich nehme statt \(k\) besser \(n\) und dann zeigt man die Formel für \(n\) .

Deine Schritte waren soweit richtig. Mit \(n\) erhält man dann $$ \sum\limits_{k=0}^{\infty}{k(k-1)\cdot\ldots\cdot(k-n+1)\cdot{(1-p)}^{k} \cdot p}. $$

Setze \(x=1-p\) und zieh den Faktor \(px^n\) aus die Summe. In der Summe bleibt die n-te Ableitung von \(x^k\) übrig. Differentiation und Summe vertauschen und die geometrische Reihe anwenden. Dann die n-te Ableitung der geom. Reihe berechnen und wieder \(x=1-p\) einsetzen und du bist fertig.

Hier hilft der Beweis für die Berechnung des Erwartungswertes \(E[X]\) sicherlich weiter. Dort wendet man denselben Trick an, man nutzt da aber nur die erste Ableitung. Das Vorgehen lässt sich aber übertragen.

Answer 2

Das Einsetzen ist schon falsch und führt somit im ersten Schritt auf eine falsche Reihe. \(k\) ist fest:

$$E[X(X-1)\cdots (X-k+1)]=\sum_{n=0}^\infty \underbrace{n(n-1)\cdots (n-k+1)}_{=k!\binom nk}p(1-p)^n$$$$= \sum_{n=0}^\infty k!\binom nk p(1-p)^n \quad (1)$$

Jetzt kannst du die (per Differentiation leicht zu verifizierende) Regel benutzen:

$$k!(1-x)^{-(k+1)} =\frac{d^k}{dx^k}(1-x)^{-1}$$$$ = \sum_{n=0}^\infty k!\binom nk x^{n-k}$$$$= \frac 1{x^k} \sum_{n=0}^\infty k!\binom nk x^{n} \quad (2)$$

Wenn du jetzt (1) und (2) vergleichst und \(x=1-p\) einsetzt und etwas umstellst, erhältst du dein gewünschtes Resultat:

$$\sum_{n=0}^\infty k!\binom nk p(1-p)^n =p\cdot (1-p)^k\cdot k! \frac 1{(1-(1-p))^{k+1}} = \frac{k!(1-p)^k}{p^k}$$