Funktionsgleichung aus Parabel bestimmen

Question

Aufgabe: es handelt sich um eine nicht masstäbliche Skizze einer Parabel. Bestimmen Sie deren Funktionsgleichung. Das Maximum liegt bei 1/2 u / 9. Der Flächeninhalt beträgt 36.

Comments

Was denn für ne Fläche ? Wodurch ist die

begrenzt ?

Answer 1

Es handelt sich um eine nicht maßstäbliche Skizze einer Parabel. Bestimmen Sie deren Funktionsgleichung. Das Maximum liegt bei \(M(0,5 | 9)\). Der Flächeninhalt beträgt \(36\).

\(f(x)=a*x^2+bx+c\)

\(M(0,5 | 9)\):

\(f(0,5)=a*0,5^2+b*0,5+c\)

1.)

 \(a*0,5^2+b*0,5+c=9\)→ \(c=9-0,25a-0,5b\)

Extremwerteigenschaft :\(f´(x) =0\)

\(f(x)=a*x^2+bx+9-0,25a-0,5b\)

\(f´(x)=2ax+b\)

\(f´(0,5)=2a*0,5+b\)

\(f´(0,5)=2a*0,5+b\)

\(2a*0,5+b=0\)→\(b=-a\)

\(f(x)=a*x^2-ax+9-0,25a-0,5(-a)\)

\(f(x)=a*x^2-ax+9+0,25a\)

Nullstellen:

\(a*x^2-ax+9+0,25a=0\)

\(x^2-x+\frac{9}{a}+0,25=0\)

\(x^2-1x=-\frac{9}{a}-0,25\)

\((x-0,5)^2=-\frac{9}{a}-0,25+0,5^2\)

\((x-0,5)^2=-\frac{9}{a}\)

1.)

\(x-0,5=\sqrt{-\frac{9}{a}}\)    →\(a<0\)

\(x_1=0,5+\sqrt{-\frac{9}{a}}\)

2.)

\(x-0,5=-\sqrt{-\frac{9}{a}}\)

\(x_2=0,5-\sqrt{-\frac{9}{a}}\)

\( 36=\int\limits_{0,5-\sqrt{-\frac{9}{a}}}^{0,5+\sqrt{-\frac{9}{a}}}(a*x^2-ax+9+0,25a )dx\)

Hiermit kannst du a berechnen.

Comments

Hier ist ein schnellerer Weg:

Maximum liegt bei \(S(0,5 | 9)\)

Scheitelform der Parabel:

\(f(x)=a*(x-0,5)^2+9\)

Nullstellen:

\(a*(x-0,5)^2+9=0|:a\)

\((x-0,5)^2+\frac{9}{a}=0\)

\((x-0,5)^2=-\frac{9}{a}\)

\(x-0,5=\sqrt{-\frac{9}{a}}\)

\(x_1=0,5+\sqrt{-\frac{9}{a}}\)       Wieder  \( a<0\)

\(x_2=0,5-\sqrt{-\frac{9}{a}}\)

.....

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Dein

Das Maximum liegt bei \(M(0,5 | 9)\).

ist eine mögliche Interpretation des verstümmelten Geschreibsels

Das Maximum liegt bei 1/2 u / 9.

Es kann genau so gut sein, dass die y-Koordinate ein Bruch mit verloren gegangenem Zähler und dem Nenner 9 ist.

So lange sich die Fragestellerin nicht dazu äußert, halte ich mich mit möglichen Vereinfachungen zum Lösungsweg zurück.

Der nachgeschobene "schnellere Weg" von Moliets bringt nicht viel, weil beim Bilden einer Stammfunktion der Schnelligkeitsvorteil schwindet.

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Entschuldigung, dass ich mich missverständlich ausgedrückt hatte. Ich meinte u halbe (die Parabel schneidet die x-Achse bei 0 und u), das Maximum der Parabel hat den x-Wert der halben Strecke von u und den y-Wert 9. Mit der Fläche ist die Fläche gemeint, die zwischen der Parabel und der y-Achse eingeschlossen wird.

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Nullstellen bei \(x_1=0\)  und \(x_2=u\)

Scheitelpunkt somit \(S(\frac{1}{2}u|9) \)

\(f(x)=a*x*(x-u)\)

\(f(\frac{1}{2}u)=a*\frac{1}{2}u*(\frac{1}{2}u-u)=a*\frac{1}{2}u*(-\frac{1}{2}u)=-a*0,25u^2\)

\(-a*0,25u^2=9\)  →   \(-a*u^2=36\)→  \(a=-\frac{36}{u^2}\)

\(f(x)=-\frac{36}{u^2}*x*(x-u)\)

\(36= \int\limits_{0}^{u}(-\frac{36}{u^2}*x*(x-u) )dx\)

\(36= -\frac{36}{u^2}*\int\limits_{0}^{u}(x^2-ux)dx\)

\(u^2= -\int\limits_{0}^{u}(x^2-ux)dx\)

\(-u^2= [\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}ux^2]_{0}^{u}\)

\(-u^2= [\frac{1}{3}u^3-\frac{1}{2}u^3]-0\)

\(-u^2-\frac{1}{3}u^3+\frac{1}{2}u^3=0\)

\(-u^2-\frac{2}{6}u^3+\frac{3}{6}u^3=0\)

\(\frac{1}{6}u^3-u^2=0\)

\(\frac{1}{6}u^2*(\frac{1}{6}u-1)=0\)

Satz vom Nullprodukt...

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(die Parabel schneidet die x-Achse bei 0 und u), das Maximum der Parabel hat den x-Wert der halben Strecke von u und den y-Wert 9. Mit der Fläche ist die Fläche gemeint, die zwischen der Parabel und der y-Achse eingeschlossen wird.

Dann gilt: 36 gleich 2/3 der Fläche des umhüllenden Rechtecks - also$$36 = \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot u \implies u = 6$$bzw. $$f(x) = ax(x-u) =ax^2 - 6ax \\ f\left(\frac{u}{2}=3\right) = 9 \implies a = -1 \\ \implies f(x)= -x^2 + 6x$$

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Mit der Fläche ist die Fläche gemeint, die zwischen der Parabel und der y-Achse eingeschlossen wird.

Das soll wohl doch eher die x-Achse sein?

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Ja, da habe ich mich vertippt. Es muss x-Achse heißen. Sorry.