Eine Abbildung f: R3 → R2 kann nie injektiv sein

Question

Aufgabe:
Der Satz "Eine Abbildung f: R³ → R² kann nie injektiv sein".

Problem/Ansatz:

Injektiv ist eine  Funktion f : A → B, wenn jedes Element in B von höchstens einem Element aus A als Funktionswert angenommen wird. Ich verstehe, dass es in R³ Punkte gibt  (mit einer dritten Koordinate ≠ 0), die es nicht im R²  gibt. Heißt es aber, dass z.B. die Vektoren (1,2,3) und (1,2,5) in den R²  auf (1,2) abbilden und daher eine Abbildung vom R³ → R² nie injektiv sein kann, da ja (1,2) von zwei Elementen aus dem R³ als Funktionswert angenommen wird?

Comments

Die Aufgabe ist unvollständig formuliert.
Steht da vielleicht " Der Satz ... soll auf seinen Wahrheitsgehalt untersucht werden " ?
Oder steht da etwas von linearen Abbildungen ?

Answer 1

Hallo

ja, du hast es richtig gesehen. Aber zum Beweis reicht ein Beispiel nicht, falls du es beweisen musst, injektion könnte sie sein, wenn man nicht ganz R^2 abbildet sondern nur einen 2d Unterraum, auch das nennt man eine Abb. vom R^3 nach R^2

lul

Answer 2

Es gibt eine injektive Abbildung \(f:\R^2 \to \R\): Für \((x,y) \in \R^2\) benutzen wir die Dezimaldarstellung:

$$x=\sum_{k \in \Z}x_k10^k \qquad y=\sum_{k \in \Z}y_k10^k$$

(dabei sind für \k \in \N\) natürlich fast alle Koeffizienten gleich 0.) Damit

$$f(x,y):=\sum_{k \in \Z}x_k10^{2k} + \sum_{k \in \Z}y_k10^{2k+1}$$

d.h. die Ziffern von x werden den geraden Potenzen zugeordnet und die Ziffern von y den ungeraden.