Abbildung f : R2 → R2 mit (x, y) → (x − y, x^2 − y^2). Injektiv oder surjektiv?

Question

Serie 3 Aufgabe 7:

Wir betrachten die Abbildung
f : R2 → R2
(x, y) → (x − y, x^2 − y^2)
Untersuchen Sie, ob f injektiv oder surjektiv ist.

 wie muss man da vorgehen?

Comments

Wie genau ist denn die Funktion definiert? Was sollen denn x² und y² sein?

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die funktion soll urbild und die zielmenge sein.

Answer 1

Wegen  f(x,x) = (0,0)  für alle  x ∈ ℝ  ist  f  sicher nicht injektiv.

Seien x,y, z ∈ ℝ  mit  f(x,y) = (0,z). Dann gilt  x - y = 0, also  x = y
und damit  z = x² -  y² = 0.
(0,z)  liegt also nicht im Bild von  f  falls  z ≠ 0  ist. Damit ist  f  auch nicht surjektiv.

Comments

wie weiss man dass man zeurst f(x,x) = (0,0) untersuchen muss ?

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Injektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird.

Bei der Funktion

f: (x, y) → (x - y, x^2 - y^2)

drängt sich hier ja förmlich auf zu untersuchen was passiert wenn x = y ist. Man geht also eigentlich nicht von (0, 0) aus sondern eher von x = y und kommt über den Weg zu (0, 0).

Surjektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat.

Man sucht hier also nach Elementen der Zielmenge, die nicht angenommen werden.

Von mir gibt es einen dicken Daumen für die Untersuchung.

Answer 2

die gesamte Diagonale {(a, a)} bildet auf (0, 0) ab, f kann also nicht injektiv sein.

Für die Surjektivität stellt sich die Frage der Lösbarkeit des nichtllinearen Gleichungssystems:

x - y = a,

x² - y² = b.

Ist dieses für alle (a, b) lösbar, so ist die Funktion f surjektiv.

Mit a = 0 und b ≠ 0 findet man allerdings besonders einfache Bildpunkte, auf die nicht abgebildet wird und die Funktion f ist folglich auch nicht surjektiv.

MfG

Mister