Ein Rad rollt auf einer Linie ab

Question

Ich würde mich freuen wenn mir jemand beim Finden eines Ansatzes helfen könnten.

Leider komme ich bei dieser Aufgabe auf keinen grünen Zweig, da ich bereits am Koordinatensystem scheitere.

Offensichtlich soll dabei ein 2 dimensionales KS rauskommen, da hört es aber schon wieder auf.

Text erkannt:

Ein Rad, das näherungsweise als Kreis aufgefasst werden kann, rollt auf einer fest vorgegebem ebenen Linie ohne zu gleiten ab. Der Radius des Rades beträgt \( r \). An der niedrigsten Stelle des Rades, die auf der Linie aufliegt, befindet sich ein Punkt.

Wenn sich das Rad dreht, bewegt sich der Punkt auf einer Kurve der sogenannten Rollkurve.
1. Zeichnen Sie zunächst das Rad in ein Koordinatensystem \( [0,3 \pi] \times[0,2] \) ein. Der Mittelpunkt des Rades liegt dabei auf dem Punkt \( (0, r) \) des Koordinatensystems mit einem Radius \( r=1 \) ein. Zeichnen Sie ferner den oben beschriebenen Tangentialpunkt zwischen \( \mathrm{x} \)-Achse und Rades ein.

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Leider komme ich bei dieser Aufgabe auf keinen grünen Zweig, da ich bereits am Koordinatensystem scheitere.

Da bin ich aber neugierig, wo Dein Problem ist! Ein Koordinatensystem sind doch bloss zwei senkrecht auf einander stehende Geraden, die mit einer Skala versehen sind. Da wo sie sich schneiden starten die Skalen mit 0. So sieht das aus

Den Kreis mit Radius \(r=1\) und der Position \((0,r)\) habe ich Dir auch eingezeichnet. Nun nimm bitte die Maus und ziehe den Mittelpunkt des Rades nach rechts ;-)

Zu Deiner anderen Frage: \(\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) bedeutet nur, dass ein Punkt auf einer Ebene (2D), der mit zwei reelen Zahlen (daher \(\mathbb{R}\)) auf einen daraus berechneten zweiten Punkt abgebildet wird. Das hat aber mit dieser Aufgabe nicht viel zu tun.

Gruß Werner

Comments

Kann ich das dann als f: R² -> R² lesen?

Nicht ganz. Du kannst das lesen als \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\). Die Position des Rades ist eindimensional, solange es die X-Achse berührt.

Durch das Abrollen des Rades wird seine Position, also konkret die X-Position seines Mittelpunktes, auf einen Punkt (den roten) in der Ebene abgebildet. Und dieser Punkt hat zwei Koordinaten. Daher \({}^2\).

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Vielen Dank für die tolle Animation!!

Ich werde sie mir später noch einmal in Ruhe ansehen und auch die Antworten durcharbeiten.

Answer 2

Hallo

das ist ein normales x-y Systeme  in x- Richtung von 0 bis 3pi,  in y Richtung von 0 bis 2 (darf natürlich auch darüber gehen)

Den Kreis um (0,1) mit Radius 1 kannst du dann wohl zeichnen? und den Punkt (0,0) markieren.

Ein Bild der "Rollkurve" auch Zykloide findest im Netz. du kannst auch ein Geldstück oder Pappkreis mit einem markierten Punkt auf deinem Papier rollen lassen nd einen Punkt markieren

lul

Comments

Kann ich das dann als f: R² -> R² lesen? Mit f(x₁,x₂) = \( \begin{pmatrix} x₁\\x₂\\ \end{pmatrix} \) ?

Answer 3

Du sollst auf der x-Achse die Punkte von 0 bis 3pi und auf der y-Achse die Punkte von 0 bis 2 finden.