Bestimmen Sie alle α, β ∈ R, sodass eine Matrix X ∈ Mat(2×2, R) mit M ·X = 12 existiert.

Question

Aufgabe:

Seien α, β ∈ R. Wir betrachten die Matrizen
M := \( \begin{pmatrix} 2 & α \\  β & 4 \end{pmatrix} 1_2 := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\  0 & 1 \end{pmatrix} ∈ Mat(2 × 2, R) \)

a) Bestimmen Sie alle α, β ∈ R, sodass eine Matrix X ∈ Mat(2×2, R) mit M ·X = 12 existiert.
Interpretieren Sie dazu die Einträge von X als 4 Variablen und die Gleichung M · X = 12
als inhomogenes LGS. Bestimmen Sie alle solche X für α = β = −3

Problem/Ansatz:

Wenn ich es so mache wie auf den Bild, komme ich ja auch auf kein Ergenisse weil ich dann ja x1 und x3 mit drin hätte.

leider habe ich nun aber keinen Plan wie ich es dann machen könnte

Text erkannt:

Uberlegang
\( \begin{array}{l} \left(\begin{array}{ll} 2 & a \\ \beta & 4 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ll} x & x \\ x & x \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \\ x \operatorname{fur} a=\beta=-3 \\ \left(\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -3 & 4 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \\ 2 \cdot x_{1}+2 \cdot x_{3}=1 \end{array} \)

Comments

Was bedeutet:

Matrix X ∈ Mat(2×2, R) mit M ·X = 12 ?

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Hey

Ich wusste nicht wie ich das diese Eins hin schreibe, deswegen zeige ich mit einen Bild noch mal die Aufgabe, ich hoffe es wird so klar

Text erkannt:

\( \in \mathbf{R} \). Wir betrachten die Matrizen
\( M:=\left(\begin{array}{ll} 2 & \alpha \\ \beta & 4 \end{array}\right), \quad \mathbf{1}_{2}:=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(2 \times 2, \mathbb{R}) . \)

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also diese 12 ist quasi die 1₂

Answer 1

\(  \left(\begin{array}{ll} 2 & \alpha \\ \beta & 4 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ll} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)  \)

==>  \(  2x_1 + \alpha x_3 = 1    \)

und   \(  \beta x_1 + 4x_3 = 0   \)  ==>    \(  x_3 = \frac{ -\beta x_1}{4}  \)

und   \(  2x_2 + \alpha x_4 = 0   \)

und \(  \beta x_2 + 4x_4 = 1  \)  ==>    \(  x_4 = \frac{ -\beta x_2}{4}  \)

einsetzen in die erste Gleichung gibt:

\(  2x_1 + \alpha \frac{ -\beta x_1}{4} = 1    \)

\(  8x_1 - \alpha \beta x_1 = 4   \)

Damit x₁ existiert, muss also   \(  8 - \alpha \beta \ne 0 \) gelten.

Im Fall α = β = −3 ist das erfüllt und du hast

\(  8x_1 - 9 x_1 = 4  \)  ==>   \(  x_1 = -4  \)

mit \(  2x_1 + \alpha x_3 = 1    \), also \(  -8 -3x_3 = 1    \) also \(  x_3 = -3    \)

Entsprechend \(  x_2 = -3    \)   und \(  x_4 = -2    \)    .