Finden Sie alle Matrizen A ∈ Mat(n×n, K), so dass AM = MA für alle M ∈ Mat(n×n, K) gilt.

Question

Aufgabe:
(a) Beweisen oder widerlegen Sie: Ist D ∈ Mat(n × n, K) ein Diagonalmatrix, so gilt DA = AD für alle A ∈ Mat(n × n, K).

(b) Finden Sie alle Matrizen A ∈ Mat(n×n, K), so dass AM = MA für alle M ∈ Mat(n×n, K) gilt.

Answer 1

Hallo,

a) Gegenbeispiel:$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0\\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$$

b) Die Matrixmultiplikation ist nur dann kommutativ, wenn beide Matrizen Diagonalmatrizen sind. Es gilt nämlich:$$\operatorname{diag}(a_1,a_2,...,a_n)\cdot \operatorname{diag}(b_1,b_2,...,b_n)=\operatorname{diag}(a_1\cdot b_1,a_2\cdot b_2,...,a_n\cdot b_n)$$ Hier ist es gleichgültig in welcher Reihenfolge multipliziert wird, denn \(a_i\cdot b_i=b_i\cdot a_i\) für \(i\in \{1,2,...,n\}\)