Ich bin mir nicht sicher, ob das funktioniert, aber ich versuche mal einen ersten Schritt zu finden, da Logarithmieren verboten wurde.
n^3>=n , könnte man theoretisch mittels vollständiger Induktion beweisen
=> 1/(n^3+n)^(1/n^4) >= 1/(n^3+n^3)^(1/n^4)
= 1/(2n^3)^(1/n^4)
= 1/2^(1/n^4) * 1/n^3^(1/n^4)
der Exponent vom ersten Nenner wird für n nach unendlich 0, weswegen der erste Faktor gegen 1 geht, also kann man den erst mal weglassen.
Jetzt müsste man nur noch zeigen, warum
1/n^3^(1/n^4) also 1/n^(3/4n) gegen 1 konvergiert.