Wie zeige ich den Grenzwert?

Question

Hallo, kann mir bitte jemand sagen, wie ich zeige, dass der Grenzwert von \( \frac{1}{\sqrt[n^{4}]{n^3+n}} \) genau 1 ist? Ich weiß bereits, dass das der Grenzwert ist, aber ich brauche dringend noch den Beweis. Wäre sehr dankbar für Hilfe!

Comments

Der Term, von dem du den Grenzwert bilden willst, ist nicht lesbar.

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ich hoffe man kann es erkennen…

Answer 1

Aloha :)

Wegen \(n^3+n\ge1\) gilt auch \(\sqrt[n^4]{n^3+n}\ge1\).

Mit der Bernoulli-Ungleichung$$(1+x)^r\le1+r\cdot x\quad\text{für }x>-1\;;\;r\in[0;1]$$können wir den Wurzelterm nach oben abschätzen:$$\sqrt[n^4]{n^3+n}=\left(n^3+n\right)^{\frac{1}{n^4}}=\left(1+(n^3+n-1)\right)^{\frac{1}{n^4}}\le1+\frac{n^3+n-1}{n^4}$$sodass insgesamt gilt:$$1\le\sqrt[n^4]{n^3+n}\le\frac{n^4+n^3+n-1}{n^4}$$Wir nehmen die Kehrwerte:$$1\ge\frac{1}{\sqrt[n^4]{n^3+n}}\ge\frac{n^4}{n^4+n^3+n-1}=\frac{1}{1+\frac1n+\frac{1}{n^3}-\frac{1}{n^4}}$$und finden nach dem Sandwich-Theorem:$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n^4]{n^3+n}}=1$$

Answer 2

Ich gehe davon aus, dass folgende Tatsache bekannt ist :

\(\displaystyle \lim_{m\to\infty}\sqrt[m]{m}= 1 \quad (\star)\)

Damit ist natürlich auch jede Teilfolge konvergent gegen 1. Das nutzen wir aus und schauen uns nur noch den Nenner an:
$$1\leq \sqrt[n^4]{n^3+n} \leq \sqrt[n^4]{n^4+n^4}=\sqrt[n^4]{2}\cdot \sqrt[n^4]{n^4}\stackrel{(\star)}{\longrightarrow}1\cdot 1 = 1$$

Der Rest müsste nun klar sein.

Answer 3

Betrachte nur den Nenner von \( \frac{1}{\sqrt[n^{4}]{n^3+n}} \)

Der ist gleich \( (n^3+n)^\frac{1}{n^4}   = e^{\ln(n^3+n)\cdot \frac{1}{n^4}} \)

Wegen der Stetigkeit der e-Fkt reicht es zu betrachten

\(   \lim\limits_{n \to \infty}  \frac{\ln(n^3+n)}{n^4}=0 \)

Da der Ln ja wiel langsamer wächst als die Potenzen von x.

Also ist dein Grenzwert e⁰=1 , weil der Nenner gegen 1 geht.

Comments

Muss es nicht (n^3+n)^( - 1/n^4) lauten?

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Da ist was dran. Dann geht also der Nenner gegen 1.

Ich korrigiere das.

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ich verstehe prinzipiell was ihr meint, nur habe ich logarithmieren im studium noch nicht gelernt und darf es nicht verwenden, fällt euch vielleicht noch eine andere methode ein`?

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ich verstehe prinzipiell was ihr meint, nur habe ich logarithmieren im studium noch nicht gelernt und darf es nicht verwenden

Unfassbar. Ständig jammern die Unis, dass die Neu-Studenten nicht mehr das für das Studium erforderliche Grundwissen aus der Schule mitbringen, und wenn sie mal was mitbringen ist es verboten...

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und wenn sie mal was mitbringen ist es verboten...

In meinem 1. Semester meines Studiums habe ich die Konvergenz einer Reihe mittels Leibniz-Kriterium überprüft und obwohl dieses Kriterium in der Vorlesung noch vorgestellt wurde, durften wir es in dem Übungsblatt noch nicht benutzen, weil Methoden außerhalb der Vorlesung "bewiesen werden" müssen, was ich erst nach der Korrektur erfahren habe. Habe damals deswegen fast alle Punkte in der Aufgabe abgezogen bekommen.

Answer 4

Du kannst n vernachlässigen:

(n^3)^(1/n^4) = {(n^3)^(1/n)]^4

lim = 1^4 = 1, weil lim (n^3)^(1/n) = 1 für x -> oo

Comments

Die Umformung ist falsch:

$$(a^b)^c=a^{(bc)}$$

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Wo ist der Fehler?

(1/n)^4 = 1^4/n^4 = 1/n^4

(n^3)^(1/n^4) = n^(3/n^4)

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Mein Kommentar bezog sich auf die Gleichung, die Du vor meinem Kommentar geschrieben hast.

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Ich hatte nur den Tippfehler 3 statt 2 verbessert.

Ich verstehe deinen Hinweis immer noch nicht.

Was war vorher falsch?

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$$[(n^3)^{(1/n)}]^4=(n^3)^{(4/n)}$$

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Du meinst den Klammerfehler?

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Ich meine dass 4/n nicht dasselbe wie1/n^4 ist.

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Ja, das ist der 4er in den Zähler gerutscht.

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Hast du Verständnisschwierigkeiten, warum deine gegebene Antwort immer noch verkehrt ist?

Wenn du den Fehler siehst, dann verbesser ihn doch bitte oder lösch' die Antwort, wenn du es nicht verbessern möchtest. Ansonsten kann ich das löschen auch übernehmen.

Answer 5

Ich bin mir nicht sicher, ob das funktioniert, aber ich versuche mal einen ersten Schritt zu finden, da Logarithmieren verboten wurde.

n^3>=n , könnte man theoretisch mittels vollständiger Induktion beweisen

=> 1/(n^3+n)^(1/n^4) >= 1/(n^3+n^3)^(1/n^4)

= 1/(2n^3)^(1/n^4)

= 1/2^(1/n^4) * 1/n^3^(1/n^4)

der Exponent vom ersten Nenner wird für n nach unendlich 0, weswegen der erste Faktor gegen 1 geht, also kann man den erst mal weglassen.

Jetzt müsste man nur noch zeigen, warum

1/n^3^(1/n^4) also 1/n^(3/4n) gegen 1 konvergiert.