Widerlegen von Mengengleichung

Question

Aufgabe: Wiederlegen einer Mengengleichung

Problem/Ansatz:

Widerlegen Sie: Für alle Mengen ¨ A,B,C,D gilt (A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B × D).

Mein Ansatz: Sei (x,y) ein beliebiges Element in (A∪B)×(C∪D) dann gilt x ist Element von A∪B und y ist Element von C∪D. Dann muss x Element von A oder B sein dasselbe gilt für y Element vom C oder D somit gilt ( A×C )∪ (B×D) oder( B×C) ∪( A×D). Da es zwei Möglichkeiten gibt, kann diese Aussage nicht für alle Elemente gelten

Ist das richtig wenn nein, wieso nicht?

Comments

Für das Widerlegen genügt ein einziges Gegenbeispiel. Lege dafür A, B, C und D durch Angabe ihrer Elemente (z.B. je 1, s.u.) so fest, dass die Mengengleichung nicht gilt.

A={a},B={b}, C={c}, D={d}

Answer 1

somit gilt ( A×C )∪ (B×D) oder( B×C) ∪( A×D)

Nein.

Aussagen gelten.

"(A×C) ∪ (B×D) oder (B×C) ∪ (A×D)" ist keine Aussage.

Für alle Mengen ¨ A,B,C,D gilt (A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B × D).

Verneinung davon ist

        \(\exists A,B,C,D: (A\cup B)\times (C\times D) \neq (A\times C)\cup (B\times D)\)

Das ist eine Existenzaussage. Existenzaussagen können oft bewiesen werden indem konkrete Objekte angegeben werden dessen Existenz behauptet wird.

Gib also Mengen \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) an, so dass

        \((A\cup B)\times (C\times D) \neq (A\times C)\cup (B\times D)\)

ist.

Answer 2

Vielleicht ist es gut, sich so etwas zunächst bildlich vorzustellen:

Jetzt ergänze noch \((A\cup B) \times (C\cup D)\) ist.