Mengen- und Zahlenlehre: Verknüpfung kommutativ und Mengengleichung?

Question

Begreife diese Aufgabenstellung nicht.

AoB := B v A (A o B := B Komplement vereinigt mit A)

a) Überprüfen Sie mittels einer Zuordnungstabelle, ob diese Verknüpfung kommutativ ist.

b) Welche Mengengleichung ist aufzustellen, wenn man mit einer Zuordnungstabelle zeigen will, ob die unter Aufgabe a) definierte Operation das Assoziativgesetz erfüllt?

Wie kommt man auf die Lösung und wieso? Bin schon seit längerem an dieser Aufgabe aber bin leider ziemlich begriffsstutzig!

Answer 1

Hmm, ich weiß leider nicht, was eine Zuordnungstabelle sein soll.

Außerdem bin ich nicht ganz sicher, wie die Verknüpfung denn nun lauten soll, du schreibst "B Komplement vereinigt mit A", das klingt eigentlich wie

AoB := ¬B ∨ A

du schreibst aber B ∨ A. Welches ist gemeint?

 

Davon hängt natürlich ab, ob die Operation kommutativ ist oder nicht. Wie gesagt, ich weiß nicht, was eine Zuordnungstabelle ist, aber ich könnte mir vorstellen, dass du einfach AoB und BoA vergleichen sollst.

AoB=¬B v A ≠ B v ¬A = BoA

⇒ AoB ≠ BoA

also ist die Verknüpfung im Allgemeinen nicht kommutativ.

(Um zu zeigen, dass ¬B v A ≠ B v ¬A gilt, kannst du zusätzlich noch rechnen:

¬B v A = B v ¬A  | von rechts vA

¬B v A v A = B v ¬A v A  | links Absorptionsgesetz, rechts vereinigt man A und nicht-A, was die mit B gemeinsame Obermenge ergibt, ich nenne sie mal 1

¬B v A = 1 |von links B∧

B∧(¬B v A) = B∧1

(B∧¬B)v(B∧A) = B

0v(A∧B) = B

A∧B = B

der Durchschnitt von A und B soll also B sein - das ist aber nur möglich, wenn B Teilmenge von A ist - analog muss auch A Teilmenge von B sein, also müssen A und B identisch sein, was im Allgemeinen aber nicht der Fall sein muss, also ist die Verknüpfung im Allgemeinen nicht kommutativ.

Und die Mengengleichung, die du aufstellen musst, um die Assoziativität zu testen ist

Ao(BoC) = (AoB)oC

bzw.

¬(¬CvB)vA = ¬Cv(¬BvA)

Offenbar ist nicht gefordert, die Lösung zu finden, nur die Gleichung selbst ist gefragt.