Meine Lösung zu Mengengleichung beweisen

Question

Aufgabe:

Beweise folgende Aussage:

A\(A\B) = B ∩ A

Problem/Ansatz:

Das ist meine erste Berührung mit Beweisen, deshalb bin ich vorsichtig und frage mal lieber nach :)

Meine Lösung sieht so aus: Ich betrachte den linken und den rechten Teil einzeln. Zuerst schaue ich mir die linke Seite an:

x ∈ A ∧ ¬(x ∈ A ∧  ¬x ∈ B)  | Ich negiere im nächsten Schritt die Klammer

= x ∈ A ∧ ¬x ∈ A  ∨ x ∈ B) | Ich wende das Distributivgesetz an

=  (x ∈ A ∧ ¬x ∈ A) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B)

Nun frage ich wie ich fortfahren soll, da "(x ∈ A ∧ ¬x ∈ A)" immer 0(leere Menge) ist.

Eine Möglichkeit wäre:

= 0 ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B) | aus ∧ wird ∩

= 0 ∨ (x ∈ (A ∩ B))

Ist das dann "0 ∨ (x ∈ (A ∩ B))" das gleiche wie "A ∩ B" ?

Answer 1

Hallo :-)

Die Aussage \(x\in A\land \neg(x\in A\land \neg x\in B)\) ist wahr, da du dir ein Element aus der Menge \(A\setminus {(A\setminus{B})}\) genommen hast. Also kannst du diese Aussage wie du es richtig gemacht hast weiter zur wahren Aussage

\(x\in A\land (\neg x\in A\lor x\in B)\stackrel{\text{Dist.}}{\Longleftrightarrow} \underbrace{(x\in A\land \neg x\in A)}_{\text{falsche Aussage}}\lor(x\in A\land x\in B)\)

Die linke Teilaussage ist immer falsch. Da du nun eine Oder-Aussage hast und diese wahr ist, ist folglich die rechte Teilaussage wahr. Die linke Teilaussage ist redundant und kann ,,weggelassen" werden.