Ebenen angeben, die durch Punkte/Gerade verlaufen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Ebene \( \mathrm{E}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}{2} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right)+\mathrm{r} \cdot\left(\begin{array}{r}{-1} \\ {0} \\ {2}\end{array}\right)+\mathrm{s} \cdot\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right) \)

Geben Sie eine Ebene an, die durch den Punkt \( P(1|2| 2) \) geht und parallel zu E verläuft.

Bestimmen Sie eine Ebene, die mit der Ebene E nur die Gerade g gemeinsam hat.
\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}{2} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}{-1} \\ {0} \\ {2}\end{array}\right) \)

Aus einem quaderförmigen Rohling (rechts) werden durch einen Schnitt entlang der Diagonalen der Seitenflächen zwei Keile hergestellt. Beschreiben Sie die Schnittfläche mithilfe einer Parameterdarstellung.

Zeigen Sie, dass sich die Ebene E und die Ebene, in der die Schnittfläche des Rohlings aus Teilaufgabe c) liegt, schneiden. Bestimmen Sie die Schnittgerade.

Answer 1

Bei a) brauchst du nur den Punkt [2, 1, 1] der Ebene gegen den Punkt [1, 2, 2] auszutauschen. Die Richtungsvektoren kannst du so lassen, weil die Ebenen parallel sein sollen.

Bei b) ergweiterst du die Gerade g durch einen weiteren Richtungsvektor. Dieser darf allerdings nicht linear abhängig zu den beiden Richtungsvektoren von E sein.

[1, 0, 0] wäre so ein Vektor, weil du ihn nicht als Linerakombination aus den beiden Richtungsvektoren von E. generieren kannst.