Berechnen der Verdopplungszeit

Question

Aufgabe:

Im Jahr 1995 hatte die Region 82.000 Einwohner, im Jahr 2010 105.000 Einwohner.

Problem/Ansatz:

Berechne die Zeitspanne, in der sich die Einwohnerzahl N₀ verdoppelt.

Comments

Bitte alle Aufgaben zu einem Sachverhalt nur einmal zusammen stellen und nicht getrennt.

Answer 1

Wenn es um Verdopplungen dieser Art geht, kann man gut mit der Basis 2 arbeiten.

Wir setzen \(t=0\) bei 1995 und nennen \(T\) die Verdopplungszeit in Jahren. Dann gilt unter der Annahme eines fortlaufenden exponentiellen Wachstums für die Einwohnerzahl \(E(t)\) mit \(t\) in Jahren

$$E(t)=82000\cdot 2^{\frac tT}$$

Jetzt musst du nur noch \(t=15\) Jahre einsetzen und nach \(T\) auflösen:

$$105000 = 82000\cdot 2^{\frac {15}T} $$

Per Logarithmieren erhältst du schließlich

\(T= 15\cdot\frac{\log 2}{\log 105 - \log 82}\approx 42\) Jahre.

Answer 2

82*a^15 = 105

a= (105/82)^(1/15)

a^t = 2

t= ln2/lna = 42,05 Jahre

oder:

82*e^(k*15) = 105

k = ln(105/82)/15

e^(k*t) = 2

t= ln2/k = 42,05 Jahre

Answer 3

Wachstumsfaktor

(105/82)^(1/(2010 - 1995)) = 1.016619329

Verdopplungszeit

1.01662^x = 2 --> x = 42.05 Jahre