Abbildung und Umkehrung

Question

Aufgabe:

Ich bräuchte Hilfe bei einem Beweis zum Thema Lineare Abbildungen und Umkehrung, in der linearen Algebra:

Ich soll beweisen, das die Umkehrabbildung einer orthogonalen Abbildung, wieder orthogonal ist & einer Isometrie, wieder eine Isometrie ist.

Ich freue mich für jede Hilfe, denn ich komme hier echt nicht wieder.

Lg

Comments

orthogonale Abbildung eines euklidischen Vektorraumes

auf sich selbst ?

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Damit ist gemeint, wenn eine Abbildung orthogonal ist, dann soll es auch die Umkehrabbildung. Analog die Isometrie. Wie würde ich das beweisen?

Answer 1

Falls \(V\) ein normierter Vektorraum ist und \(L:V \to V\) eine lineare invertierbare isometrische Abbildung ist, d.h. für alls \(x \in V\) gilt \(\|Lx\|=\|x\|\), dann folgt

$$\forall y \in V: \quad \|y\|=\|L(L^{-1}y)\|=\|L^{-1}y\|$$

Für die Orthogonalität kommt es auf die (genaue) Definition von "orthogonaler Abbildung" an