Kunstflug, Polynom 4. Grades (Leistungskurs)

Question

Aufgabe:

Kunstflug

Das Bild zeigt die Kondensspur einer Kunstflugstaffel, die das Hotel Atlantis überfliegt. Der Gipfel der Flugbahn liegt bei 120 m Höhe über dem Grund. Die Tiefpunkte liegen 400m auseinander. 100 m rechts vom 2. Tiefpunkt hat das Flugzeug 165 m Höhe erreicht.

Modellieren Sie die Bahnkurve des Fluges nach Wahl eines geeigneten Koordinatensystems durch ein Polynom vom Grad 4. Verwenden Sie als Maßstab: 1 LE = 100 m.

Problem/Ansatz:

Guten Nachmittag an alle.

Die selbe Aufgabe wurde schon mal vor 8 Jahren hochgeladen, jedoch finde ich die Antwort nicht sehr schlüssig darum frage ich nochmal (https://www.mathelounge.de/299977/kondensspur-kunstflugstaffel-atlantis-uberfliegt-gipfel).

Klar ist dass ich eine Funktion 4. Grades benötige. Warum die Funktion symmetrisch sein soll habe ich nicht ganz verstanden. Ich weiß auch, dass der Hochpunkt bei H(0|120) liegt. In der früher gestellten Frage wurde geantwortet, dass bei x=100, y 165 sein soll. Ich hätte aber gedacht dass x 300 sein muss, da die Tiefpunkte 200 Meter voneinander entfernt sind und der Punkt 100 rechts vom Tiefpunkt liegt. Mir ist außderm nicht klar wie ich nun fortfahren muss um die Nullstellen sowie die Tiefpunkte zu berechnen.

Ich bedanke mich für jede Hilfe und jeden Ansatz.

Answer 1

Ich habe eine Zeichnung, allerdings nicht im geforderten Maßstab, angefertigt:

Die Parabel 4.Grades ist symmetrisch zur y-Achse:

\(f(x)=ax^4+bx^2+c\)

\(H(0|120)\):

\(f(0)=c\)

1.)

\(c=120\)

\(f(x)=ax^4+bx^2+120\)

\(P(300|165)\):

\(f(300)=a*300^4+b*300^2+120\)

2.)

\(a*300^4+b*300^2+120=165\)

Tiefpunktstelle \(x=200\)

\(f´(x)=4ax^3+2bx\)

\(f´(200)= 4a*200^3+2b*200 \)

3.)

\( 4a*200^3+2b*200=0 \)

\(a= \frac{1}{20000000} \)        \(b= -\frac{1}{250} \)

\(f(x)=\frac{1}{20000000}x^4-\frac{1}{250}x^2+120\)

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Tatsächlich habe ich die ganze Aufgabe viel zu kompliziert wahrgenommen.

Deine Antwort hat mir sehr geholfen.

Answer 2

Die Symmetrie erkennt man doch an dem Bild. Ansonsten soll man ja auch ein geeignetes Koordinatensystem wählen. Da kann man dann ja auch eins nehmen, wo der Graph dann nicht symmetrisch zur y-Achse ist.

Die Angabe in der anderen Antwort ist schlicht falsch. Warum rechnest du es nicht selbst? Offenbar weißt du ja wie es geht. Wo ist dein konkretes Problem, außer dass dich eine falsche Lösung nur verwirrt?

Answer 3

Du siehst das völlig richtig.

Die frühere Aufgabe ist falsch.

Ich würde ansetzen

GLS:={f(0)=120, f'(0)=0, f'(-200)=0, f'(200)=0, fo(300)=165}

Wie willst Du das LGS lösen? Gauss...

>Warum die Funktion symmetrisch sein soll habe ich nicht ganz verstanden. <

Na ja, nach was sieht es denn aus?

Comments

Wenn man die Symmetrie ausnutzt ist die Gleichung \(f'(0)=0\) obsolet. Das gilt auch für eine der notwendigen Bedingungen der Tiefpunkte.

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Nun, nach dem der Fragesteller die Symmetrie nicht "sehen" wollte....