Aufgabe:
Wir haben die Abituraufgaben von 2016 bekommen:
Der Stammumfang einer Tanne kann annähernd beschrieben werden durch die Funktion f mit
f (t) = 4/(1+20e-0,05t)
Dabei gibt t die Zeit in Jahren seit Beginn des Beobachtungszeitraums an, f(t) den Stammumfang in Metern. Der Graph von f ist im Material abgebildet.
1.1 Ermitteln Sie den Stammumfang der Tanne zu Beginn des Beobachtungszeitraum und begründen Sie ohne Bezugnahme auf den Graphen mithilfe des Funktonsterms, dass gemäß dieser Modellierung der Stammumfang der Tanne nicht mehr als vier Meter betragen kann.
1.2 Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung von f gilt:
f " (t) = 4e-0,05t(e-0,05t-0,05) / (1+20e-0,05t)2
1.3 Berechnen Sie den Zeitpunkt des stärksten Wachstums des Stammumfangs. Die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend. Geben Sie eine Skalierung der Achsen des Koordinatensystems im Material an.
1.4 Bestimmen Sie den Wert des Integrals 1/10 ∫ (unten 0, oben 10) f(t) dt und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
2. Umgekehrt lässt sich aus dem Stammumfang der Tanne auf die seit Beginn des Beobachtungszeitraums vergangene Zeit schließen.
2.1 In einer hessischen Gemeinde ist für das Fällen eines Baumes die Genehmigung durch das Forstamt vorgeschrieben, wenn der Baumstamm einen Umfang von 60cm oder mehr besitzt. Berechnen Sie, ab welchem Zeitpunkt nach Beginn des Beobachtungszeitraums eine Genehmigung zum Fällen der Tanne eingeholt werden muss.
2.2 Bestimmen Sie die Funktonsgleichung der Umkehrfunktion von f und begründen Sie, warum die Funktion umkehrbar ist.
3. Die Funktion f beschreibt ein sogenanntes logistisches Wachstum, die obere Schranke S=4 wird als Sättigungsmenge bezeichnet. Bei einem logistischen Wachstum ist die Wachstumgsgeschwindigkeit f '(t) proportional zum Produkt aus dem Bestand f(t) und der Differenz zur Sättigunsmenge (S-f(t)) mit dem Proportionalitätsfaktor c> 0.
Zeigen Sie mit Hilfe der Rechnung, dass der Proportionalitätsfaktor c den Wert c= 1/80 annimmmt.
Ansatz
1.1 f(0) setzen und dann habe ich als Beginn 4/21 heraus. Bei der Begründung dachte ich mir dass die 4 oben die wachstumsschranke ist deswegen kann es nicht höher sein.
1.2 Um es zu zeigen kann ich die Ableitungen bilden.
Die ersten Ableitung kriege ich hin, da sollte f'(t) = 4e-0,05t/(1+20e-0,05t)2
Bei der zweiten habe ich aber ein Problem Sie aufzulösen.
Ich verwende die Quotientenregel ( u'(x) * v(x) - u * v'(x) ) / v2
-1/5e-0,05t * (1+20e-0,05t)2 - 4e-0,05t * 2(1+20e-0,05t)2 / (1+20e-0,05t)4
Ich habe echt Probleme das aufzulösen also wäre echt um einen Lösungsweg dankbar. Wäre toll wenn ich erklärt bekommmen würde wie man generell bei solchen aufgaben voran geht.
1.3 Bei der Aufgaben weis ich dass ein Wendepunkt bestimmt werden muss nur ich habe Probleme diese nach 0 aufzulösen. Denn ich kann den Nenner nicht auf die andere Seite bringen da 0 mal den Nenner auch wieder null ergibt. Es gab doch auch so eine regelung dass wenn ich den grenzwert durch 2 teile, dass ich dann den y- Wert heraus habe (wäre in dem falle doch 2 (4/2=2)) und diesen dann in die funktion einsetze um den x-Wert zu erhalten.
1.4 da habe ich echt garkeine Ahnnung weil ich noch nicht mal weis was die aufgabe mir sagen möchte XD.
muss ich bei der aufgabe nicht einfach die funktion integrieren und diesen integral dann da einsetzen? Keine Ahnung hoffe auf einen ausführlichen Lösungsweg damit ich mich dann damit nochmal selber beschäftigen kann.
Die anderen Aufgaben habe ich noch nicht angeschaut, deswegen kann ich verstehen dass ich zu diesen noch keine Lösung bekomme. Ich hoffe nur auf Hilfe bei den Aufgaben 1.2-1.4. Aber wer die anderen Aufgaben mir noch gerne erklären möchte, nur zu! Xd
Hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt habe gegen Ende auch nicht so ganz auf die Groß- und Kleinschreibung geachtet und danke an diejenigen die das Ganze ernsthaft lesen und helfen !
LG
