Ableitungen zu ln Funktionen

Question

Ich verstehe nicht, wie ich die Ableitungen zu folgenden Funktionen bilde. Kann mir jemand da helfen?

1. f(x) = ln(x^{1/2})

2. f(x) = ln(1+3x²)

3. f(x) = ln(1-x²)

4. f(x) = 3ln(2*x^{1/2})

 

Exponenten korrigiert (Unknown)

Answer 1

  die allgemeine Ableitung ist

  [ ln ( Term ) ] ´ = [ 1 / Term ] * Term ´

  HInweis  : x^1 kannst du immer ersetzen durch x

  1. f ( x ) = ln ( x / 2 )
      Term = x / 2
      Term ´ = 1/2
      f ` ( x ) = 2 / x * 1/2

  2. f ( x ) = ln ( 1+3x^2 )
      Term = 1 + 3x^2
      Term ´ = 6x
       f ´( x ) = 1 / ( 1 + 3x^2 ) * 6x

  Die beiden restlichen Aufgaben zum Üben für dich.

  mfg Georg

Comments

Beim ersten habe ich den Exponenten falsch geschrieben. Damit meine ich x hoch 1/2

Wenn ich dich richtig verstanden habe wäre dann die Ableitung


f´(x) = 1 / x hoch 1/2 * 1?

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ln (  x^{1/2} )
Term = x^{1/2}
Term ´ = 1/2 * x^{-1/2} = 1 / ( 2 * x^{1/2} )
ln [  x^{1/2 } ] ´ = 1 / (  x^{1/2} ) * 1/ ( 2  * x^{1/2} )
ln [  x^{1/2 } ] ´ = 1 / [  2 * ( x^{1/2} * x^{1/2}  ]
ln [  x^{1/2 } ] ´ = 1 / [  2 * x  ]

  Ist also leider etwas komplizierter.

  Dafür gibt es die
  3. f(x) = ln(1-x²) auch noch
  Term = 1 - x^2
  Term ´ = -2x
  [ ln ( 1 - x^2 ) ] ´ = 1 / ( 1 - x^2 ) * (-2x)

  mfg Georg

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Anmerkung:

Mit den Logarithmengesetzen kann man

f(x) = ln(x^{1/2}) leicht Herr werden.

Mit ln(a^b) = b*ln(a)

--> f(x) = 1/2*ln(x)

Und damit:

f'(x) = 1/2*1/x = 1/(2x)


Grüße

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und dann auch noch die
4.  f ( x ) = 3 * ln ( 2*x^1/2 )

f ( x ) = 3 * [ ln(2) + ln (x^{1/2} ]
f ( x ) = 3 * [ ln ( 2 ) + 1/2 * ln ( x ) ]
f ( x ) = 3 * ln ( 2 ) + 3/2 * ln ( x )
f ( x ) ´ = 3 / ( 2x )

mfg Georg