Rekonstruktion von Polynomen

Question

Text erkannt:

Sei \( p(x) \) ein Polynom 4. Grades mit reellen Koeffizienten. Folgendes wissen wir:
- \( p(x) \geq x^{2} \) für alle \( x \).
- \( p(-1)=1, p(2)=13, p(3)=9 \).

Aufgabe:

Rekonstruktion von Polynomen.

- Polynom 4. Grades

- p(x) >/= x^2 für alle x-Werte

- p(-1) = 1; p(2) = 13; p(3) = 9

Problem/Ansatz:

Mit der 3. Bedingung kann ich drei von fünf Variablen lösen. Ich weiß allerdings nicht wie ich die zweite Bedingung verwenden kann. Für p(x) >/= x^2 müsste die Funktion ja ausschließlich positive Funktionswerte besitzen, ich weiß aber nicht wie ich mir aus dieser Information zwei weitere Bedingungen herleite.

Vielen Dank für jegliche Hilfe.

Comments

Schöne Aufgabe.

Answer 1

Bei x = -1 und bei x = 3 müssten Berührpunkte sein und damit auch die Steigung gleich sein.

Ich benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(-1)=1
f'(-1)=-2
f(2)=13
f(3)=9
f'(3)=6

Gleichungssystem

a - b + c - d + e = 1
-4a + 3b - 2c + d = -2
16a + 8b + 4c + 2d + e = 13
81a + 27b + 9c + 3d + e = 9
108a + 27b + 6c + d = 6

Errechnete Funktion

f(x) = x^4 - 4·x^3 - x^2 + 12·x + 9

Skizze

~plot~ x^2;x^4-4x^3-x^2+12x+9;[[-5|5|0|18]] ~plot~