wie kann man diese Gleichung in dieser Form schreiben?

Question

Aufgabe:

Die Gleichung anders schreiben

Problem/Ansatz:

Hallo , kurze Frage,

wie kann man diese Gleichung in dieser Form schreiben ? Könnt mir jemand bitte kurz erklären ?

x^4-24x^2-25 = (x^2-25)(x^2+1)

Danke im Voraus

Answer 1

Wenn man das rechts vom Gleichheitszeichen ausmultipliziert und als Ergebnis das links vom Gleichheitszeichen resultiert, dann ist das Gleichheitszeichen richtig. Und wenn nicht, dann falsch.

Answer 2

substituieren:

x^2 = z

z^2-24z-25

mit Vieta:

(z-25)(z+1)

resubstituieren:

(x^2-25)(x^2+1)

oder mit pq-Formel über die Gleichung: (z-25)(z+1)= 0

z1/2 = 12+-√(12^2+25) = 12+-13

z1= 1

z2= 25

Man kann aber auch direkt mit Vieta lösen und mit x^2 statt z arbeiten:

(x^2-25)(x^2+1)

Man muss nur zwei ganze Zahlen suchen, deren Produkt 25 getragen unter Beachtung der notwendigen Vorzeichen.

Es kommt nur 25 und 1 infrage

https://www.mathebibel.de/satz-von-vieta

Answer 3

Aloha :)

Das Ganze wird klar, wenn du von der rechten Seite aus startest. Allgemein gilt:$$(x+\green a)\cdot(x+\red b)=x^2+\green a\cdot x+\red b\cdot x+\green a\cdot\red b$$$$\phantom{(x+\green a)\cdot(x+\red b)}=x^2+(\green a+\red b)\cdot x+\green a\cdot\red b$$

Vor dem \(x\) steht die Summe \((\green a+\red b)\) und ohne \(x\) steht das Produkt \(\green a\cdot \red b\).

Wenn es dir also gelingt, die Zahl ohne \(x\) in 2 Faktoren \(\green a\) und \(\red b\) zu zerlegen, deren Summe \((\green a+\red b)\) die Zahl vor dem \(x\) ergibt, kannst du die quadratische Gleichung wie oben faktorisieren.

In deinem Beispiel$$x^2\pink{-24}\cdot x\blue{-25}$$überlegst du dir die Faktoren von \(\blue{-25}\) und prüfst, ob deren Summe \(\pink{-24}\) ergibt:$$\underbrace{(\green{-1})\cdot(\red{+25})}_{\text{Summe }24}\quad;\quad \underbrace{(\green{+1})\cdot(\red{-25})}_{\pink{\text{Summe }-24}}\quad ; \quad \underbrace{(\green{-5})\cdot(\red{+5})}_{\text{Summe }0}$$

Damit gilt also:$$x^2\pink{-24}\cdot x\blue{-25}=(x\green{+1})\cdot(x\red{-25})$$

Dieses Verfahren ist als "Satz von Vieta" in der Literatur bekannt, fallst du weiter nachlesen möchtest.