Allgemeine Tipps für solche Aufgaben:
Der wichtigste Punkt bei solchen Aufgaben ist es die Problemstellung erstmal zu modellieren. Mach dir beim Lesen der Aufgabenstellung (oder danach) Notizen zu allem, was dir auffällt. Dabei stößt man häufig auf Probleme/Unklarheiten, diese dann auch gesondert aufschreiben und drüber nachdenken. Mir persönlich half es auch immer etwas die gegebenen Verteilungen zu zeichnen bzw zu plotten.
Konkret:
Zunächst modellieren wir die Dauer des Weges als Zufallsvariable \( X \), hier kann man entscheiden, ob \( X \) die Verteilung der Wegdauer in Minuten oder Stunden sein soll. Ich entscheide mich willkürlich einfach mal für Stunden. Der Erwartungswert entspricht also nach Aufgabenstellung \( \mu = 4 \) und die Standardabweichung \( \frac{2}{3} \) (da 40 min = \( \frac{2}{3} \) Stunden sind). Außerdem ist \( X \) normalverteilt. Zusammengefasst erhalten wir also \( X \sim N(4, \frac{2}{3}) \)
Des weiteren wissen wir, dass das Sorbet von 12:00 bis 12:30 seine optimale Konsistenz hat UND dass die Wanderung um 8:00 beginnt. Diese Information versuchen wir jetzt in ein Verhältnis mit unserer Zufallsvariable zu bringen. Soll heißen: das Sorbet hat die optimale Konsistenz bei 4-4.5 Stunden nach Start der Wanderung.
Wir erhalten also die Aussagen "Sorbet ist frisch genau dann, wenn die Wanderdauer zwischen 4 und 4.5 Stunden liegt.". Mathematisch formuliert \( P(4 \leq X \leq 4.5) \)
Zusammenfassend wissen wir also durch die Aufgabenstellung folgendes: X ist normalverteilt mit \( X \sim N(4, \frac{2}{3}) \) und gesucht ist \( P(4 \leq X \leq 4.5) \).
Das Ausrechnen diese Wahrscheinlichkeit läuft ähnlich wie bei meiner Antwort zu deiner vorherigen Frage, wieder mit der Verteilungsfunktion der Normalverteilung (also \( P(X \leq x) = \frac{1}{2} \cdot erfc(\frac{\mu - x}{\sqrt{2} \sigma}) \), wobei erfc die kumulative Error-Funktion ist):
\( P(4 \leq X \leq 4.5) = P(X \leq 4.5) - P(X \lt 4) \\ = \frac{1}{2} \cdot erfc(\frac{4 - 4.5}{\sqrt{2} \frac{2}{3}}) - \lim_{x \rightarrow 4, x \lt 4} \frac{1}{2} \cdot erfc(\frac{4 - x}{\sqrt{2} \frac{2}{3}}) \\ = \frac{1}{2} \cdot erfc(\frac{4 - 4.5}{\sqrt{2} \frac{2}{3}}) - \frac{1}{2} \cdot erfc(\frac{4 - 4}{\sqrt{2} \frac{2}{3}}) \approx 0.273373 \).
