Differentialgleichung dy/dx=x+y^2

Question

Aufgabe: Differentialgleichung dy/dx=x+y^2

Problem/Ansatz:

Ich muss die Ergebnisse des Euler-Verfahrens und des Heun-Verfahrens mit der exakten Lösung der Differentialgleichung vergleichen. Ich habe die Berechnungen mit beiden Verfahren durchgeführt. Aber ich weiß nicht, wie ich die exakte Lösung finden kann.

Dies ist gegeben: dy/dx = x + y^2, jedes x im Intervall [0, ∞), y(x0) = y(0) = y0 = 1.

Comments

Hallo

das ist eine Riccati Dgl, ich fürchte, es gibt keine einfache Lösung, aber du kannst unter dem Stichwort suchen.

Gruß lul

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Hallo Stela,

die Lösung dieser DGL geht bei Werten in der Nähe von 1 und größer 'durch die Decke'! Mit Runge-Kutta lässt sich die DGL noch stabil bis ca. \(x \lt 0,93\) lösen. Danach wird das ganze nummerisch instabil.

Hier habe ich Dir den Verlauf im Intervall \(x\in[0\dots 0,9]\) berechnet. Das kannst Du als Referenz hernehmen.

https://www.desmos.com/calculator/oakg6w5byj

Klicke auf das Desmos-Symbol unten rechts im Bild. Dann siehst Du links die Wertetabelle der Lösungsfunktion.

Größere x-Werte als 0,9 brauchst Du mit Euler- oder Heun-Verfahren gar nicht versuchen. Das wäre Kaffesatzlesen!

Gruß Werner

Answer 1

Text erkannt:

$$ \begin{array}{l}y(x)= \\ \frac{\sqrt[3]{3} \Gamma\left(\frac{2}{3}\right)\left(J_{-\frac{1}{3}}\left(\frac{2 x^{3 / 2}}{3}\right)+x^{3 / 2} J_{-\frac{4}{3}}\left(\frac{2 x^{3 / 2}}{3}\right)-x^{3 / 2} J_{\frac{2}{3}}\left(\frac{2 x^{3 / 2}}{3}\right)\right)-2 x^{3 / 2} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right) J_{-\frac{2}{3}}\left(\frac{2 x^{3 / 2}}{3}\right)}{2 x\left(\Gamma\left(\frac{1}{3}\right) J_{\frac{1}{3}}\left(\frac{2 x^{3 / 2}}{3}\right)-\sqrt[3]{3} \Gamma\left(\frac{2}{3}\right) J_{-\frac{1}{3}}\left(\frac{2 x^{3 / 2}}{3}\right)\right)} \\\end{array} $$

Also das sagt WolframAlpha dazu. Ich vermute, dass es sich hier um ein Modul zur computergestützten Mathematik handelt und man da möglicherweise numerisch den Fehler berechnen soll. Ggf. soll ein Plot gezeichnet werden.

Die genaue Aufgabenstellung wäre da interessant.