Beweis, dass x2 − 6x + 3 gerade ist wenn x ungerade

Question

Aufgabe:

Sei x ∈ Z.

Ist x² − 6x + 3 gerade, so ist x ungerade

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz:

x² = (k-1)² =>ungerade, weil ungerade*ungerade= ungerade

-6x => gerade, weil mit geraden Faktor multipliziert wird

also ist x² - 6x => ungerade + 3 => gerade

Frage:

Reicht es für die Aufgabe für x = k-1 bzw. x = 2k einzusetzen, sodass x² − 6x + 3 = gerade bzw. ungerade ist?

Und wird angenommen, dass wenn man zwei gerade Zahlen miteinander multipliziert auch eine gerade Zahl rauskommt usw.?

Answer 1

Wenn x ungerade, dann kann x dargestellt werden als x = 2k + 1. Das setzen wir mal ein:

x² - 6x + 3
= (2k + 1)² - 6(2k + 1) + 3
= 4k² + 4k + 1 - 12k - 6 + 3
= 4k² - 8k - 2
= 2(2k² - 4k - 1)

Damit ist der Term für jede ganze Zahl k durch 2 teilbar.

Comments

Geht das auch für wenn x² − 6x + 3 gerade ist, dann muss x ungerade sein?

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Zu zeigen war die umgekehrte Folgerung. Mit dem obigen ist der gefragte Nachweis nicht geführt.

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Wie kann man es umgekehrt zeigen?

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Siehe meine Antwort unten.

Answer 2

Hallo

k-1 ist nicht allgemein ungerade, da musst du schon x=2k+1 einsetzen. oder einfach x ug folgt x² ug,

aber du musst wohl zeigen das (2k+1)² ug ist und (2k)² gerade es sei denn das ist schon gezeigt. aber da das jeweils sehr schnell ist schadet es ja nicht zu schreiben (2k+1)²=4k²+4k+1=2*(2k²+2k)+1 also wieder ug

bei dir fehlt noch der Teil x gerade

lul

Answer 3

Du solltest nicht \(x=k-1\), sondern \(x=2k-1\) nehmen, um ungerade Zahlen zu beschreiben.

Außerdem darfst du selbstverständlich voraussetzen, dass das Quadrat einer geraden Zahl wieder gerade ist, und das einer ungeraden Zahl ungerade ist.

Nun kannst du dir es sehr leicht machen, indem du eine quadratische Ergänzung durchführst:

$$x^2-6x+3 = (x-3)^2-6$$

Jetzt kannst du \(x=2k-1\)   zw. \(x=2k\) einsetzen und erhältst das gewünschte Ergebnis.

Answer 4

Die ganze Einsetzerei ist nicht nötig.

\(x^2-6x+3=(x-3)^2-6\) ist gerade, also ist \((x-3)^2\) gerade, also ist \(x-3\) gerade, also \(x\) ungerade.