Aloha :)
zu a) Wir untersuchen zunächst ob \(W\) ein Vektorraum ist:$$W=\{x\in\mathbb R^3\,\big|\,2x_1-x_2=0\}$$
1) \(W\) ist nicht leer.
Das Element \((0;0;0)\) liegt in \(W\), denn es erfüllt die Bedinung \(2x_1-x_2=0\).
2) Abgeschlossenheit bezüglich der Vektoraddition.
Seien \(\vec u,\vec w\in W\), dann gilt:$$(\vec u+\vec v)=\begin{pmatrix}u_1+v_1\\u_2+v_2\\u_3+v_3\end{pmatrix}\implies$$$$\small 2(\vec u+\vec v)_1-(\vec u+\vec v)_2=2(u_1+v_1)-(u_2+w_2)=\underbrace{(2u_1-u_2)}_{=0}+\underbrace{(2w_1-w_2)}_{=0}=0$$Daher ist auch \((\vec u+\vec v)\in W\).
3) Abgeschlossenheit bezüglich der Skalar-Multiplikation.
Für \(a\in\mathbb R\) und \(\vec v\in W\) gilt:$$(a\cdot\vec v)=\begin{pmatrix}av_1\\av_2\\av_3\end{pmatrix}\implies$$$$2(a\cdot\vec v)_1-(a\cdot\vec v)_2=2(av_1)-(av_2)=a\cdot\underbrace{(2v_1-v_2)}_{=0}=0$$Daher ist auch \((a\cdot\vec v)\in W\).
\(W\) erfüllt alle 3 Forderungen und ist daher ein Untervektorraum des \(\mathbb R^3\).
zu b) Damit ein Element \(\vec x=(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb R^3\) sowohl in \(V\) als auch in \(W\) liegt, muss es die beiden Bedingungen zugleich erfüllen:$$x_1+x_3=0\;\land\;2x_1-x_2=0\quad\implies\quad \green{x_3=-x_1}\;\land\;\red{x_2=2x_1}$$Damit können wir alle Elemente aus \(V\cap W\) angeben:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\\red{x_2}\\\green{x_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\\red{2x_1}\\\green{-x_1}\end{pmatrix}=x_1\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$$Das ist eine Gerade durch den Ursprung mit dem angegebenen Richtungsvektor.
