Binomischer-Lehrsatz, Reihen und Folgen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(a) Für \( m, n \in \mathbb{N}, m<n \) und \( k \in \mathbb{N}_{0} \) mit \( k \leq m \) gilt
\( \left(\begin{array}{c} m \\ k \end{array}\right) \frac{1}{m^{k}} \leq\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \frac{1}{n^{k}} \)
(b) Ist die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gegeben durch die Glieder \( a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}, n \in \mathbb{N} \), so ist \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) monoton wachsend.
(c) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt \( a_{n} \leq \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !}=\exp (1) \).

Hinweis: Binomischer Lehrsatz.

(Auf der Seite davor steht noch zeigen sie)

Problem/Ansatz: Ich habe tatsächlich nicht wirklich einen Ansatz, kann mir vielleicht wer helfen?

Answer 1

Bei b) geht es wohl auch ohne den Satz, einfach durch den Nachweis

\(  \frac{a_{n+1}}{a_n} \gt 1  \) für alle n∈ℕ.  Das kann dann so aussehen

\(  \frac{a_{n+1}}{a_n} =  \frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{1}{n})^{n}} \)

\(= ( \frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}} )^n \cdot (1+\frac{1}{n+1})   \)

\( = ( \frac{n+\frac{n}{n+1}}{n+1} )^n \cdot (1+\frac{1}{n+1}) = ( \frac{n}{n+1}+\frac{n}{(n+1)^2} )^n \cdot (1+\frac{1}{n+1}) \)

\( =( \frac{n}{n+1})^n \cdot ( 1 +\frac{1}{n+1} )^n \cdot (1+\frac{1}{n+1}) \)

\( =( 1-\frac{1}{n+1})^n \cdot ( 1 +\frac{1}{n+1} )^n \cdot (1+\frac{1}{n+1}) \)

\( = ( 1-\frac{1}{(n+1)^2})^n \cdot (1+\frac{1}{n+1}) \)

Bernoulli auf 1. Faktor anwenden gibt
\( \gt ( 1-\frac{n}{(n+1)^2})  \cdot (1+\frac{1}{n+1}) = \frac{n^3+3n^2 + 3n +2 }{n^3+3n^2 + 3n +1}  \gt 1 \)

Answer 2

Man braucht eigentlich nur die angegebenen Terme "ausrechnen":

$$\binom{m}{k}\frac{1}{m^k}=\frac{1}{k!}\prod_{i=1}^k\frac{m-i+1}{m}=\frac{1}{k!}\prod_{i=1}^k(1-\frac{i-1}{m})$$

Die Zuordnung \(m \mapsto 1-\frac{i-1}{m}\) ist wachsend, also auch der gesamte Term.

Damit gilt für \(m<n\):

$$a_m=\sum_{k=0}^m \binom{m}{k}\frac{1}{m^k}\leq \sum_{k=0}^m \binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\leq \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=a_n$$