Lösen Sie die Gleichung durch Substituion

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die Gleichung durch Substitution:

81sin^4(x)-45sin^2(x)+4=0

Wählen Sie die beiden kleinsten positiven Lösungen.

Problem/Ansatz:

x1=?

x2=?

Comments

Zur Kontrolle:

x1=arcsin(⅓)

x2=arcsin(⅔)

:-)

Answer 1

Aloha :)

$$81\sin^4(x)-45\sin^2(x)+4=0\quad\big|\text{Substituiere }u\coloneqq\sin^2(x)$$$$81u^2-45u+4=0\quad\big|\text{Faktorisiere}$$$$(9u-4)\cdot(9u-1)=0\quad\big|\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$u=\frac49\;\lor\;u=\frac19\quad\big|\text{Resubstituiere }u=\sin^2(x)$$$$\sin^2(x)=\frac49\;\lor\;\sin^2(x)=\frac19\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$\sin(x)=\pm\frac23\;\lor\;\sin(x)=\pm\frac13\quad\big|\arcsin(\cdots)$$$$x=\arcsin\left(\pm\frac23\right)\;\lor\;x=\arcsin\left(\pm\frac13\right)\quad\big|\arcsin(\pm x)=\pm\arcsin(x)$$$$x=\pm\arcsin\left(\frac23\right)\;\lor\;x=\pm\arcsin\left(\frac13\right)$$

Comments

die beiden kleinsten positiven Lösungen

\(x=\cancel\red\pm\arcsin\left(\frac23\right)\;\lor\;x=\cancel\red\pm\arcsin\left(\frac13\right)\)

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Danke dir Monty... Das "positiven" habe ich übersehen.

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Das mit den vollständigen Lösungen sollte echt verboten werden... Der FS hat vermutlich sowieso nichts verstanden und schreibt einfach nur ab. Wer nicht einmal eine Substitution durchführen kann, der sieht ganz bestimmt den Schritt bei "Faktorisiere". Natürlich. Schade, dass hier diese Abschreib-Mentalität derart gefördert wird.

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Das "positiven" habe ich übersehen

Für die beiden kleinsten .. Lösungen ist deine Antwort aber auch falsch.

Answer 2

Ja, setze mal \(z=\sin^2(x)\). Dann hast du eine quadratische Gleichung, die du hoffentlich lösen kannst.