Vektoren und Geraden Frage

Question

\( \{\vec{v}+t \vec{w} \mid t \in \mathbb{R}\}=\left\{\vec{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid \exists s \in \mathbb{R}: \vec{x}=\vec{v}+s \vec{w}\right\}=\left\{\vec{y} \in \mathbb{R}^{n} \mid \exists t \in \mathbb{R}: \vec{y}=\vec{v}+t \vec{w}\right\} \).

Problem/Ansatz:

Wieso spielen die Bezeichnungen innerhalb der Mengenklammern keine Rolle?

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Die Namen von Variablen sind doch immer frei wählbar.

Das hat mit Vektoren etc. nichts zu tun.

Du kannst z.B. sagen:

Menge aller positiven reellen Zahlen

={x∈ℝ| x>0} = {x| x∈ℝ ∧  x>0} = {y∈ℝ| y>0}  = { y>0 | y∈ℝ}   etc.

Answer 2

Sie spielen eine Rolle. Aber eben nur innerhalb der Mengenklammern. Falls du programmieren kannst, dann kannst du Variablen, die innerhalb von Mengenklammern definiert werden, als lokale Variablen auffassen

bool machePunktprobe(p, u, v) {
    for each (s ∈ ℝ) {
        if (v+s·w == p) return true;
    }
    return false;
}

Um zu prüfen ob der Punkt p auf der Geraden {u + tv | t∈ℝ} liegt, muss ich u und v in die Funktion hineintragen. Aber das s innerhalb der Funktion kann ich problemlos durch eine andere Variable ersetzen ohne dass das Einfluss auf die Arbeitsweise der Funktion hat.

Beachte auch, dass in der Funktion weder x noch y vorkommt. In dem Ausdruck

        \(\left\{\vec{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid \exists s \in \mathbb{R}: \vec{x}=\vec{v}+s \vec{w}\right\}\)

hat das anfängliche \(\vec{x}\) lediglich den Zweck, dass in der folgenden Bedingung darauf bezug genommen werden kann. Von außerhalb der Menge ist das \(\vec x\) nicht sichtbar.