Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
i) Für alle x, h ∈ ℝ gilt: | exp(x + h) − exp(x)| ≤ |h| exp(|h|) exp(x)

ii)  Für alle x ∈ ℝ und h ∈ ℝ mit 0 < |h| < 1 gilt:

|exp(x+h)-exp(x)/h -exp(x)|≤ 2|h| exp(x)

Comments

Was ist denn über \(\exp(x)\) bekannt oder wie wurde die Funktion im Unterricht definiert?

Answer 1

i) Forme etwas um:

\( \frac{|exp(x + h) − exp(x)|}{|h|} \)≤ exp(|h|) exp(x).

Wenn h sehr klein wird, gehen beide Seiten gegen exp(x). Es gilt dann das Gleichheitszeichen. Sonst gilt das Ungleichheitszeichen