Aufgabe 31: Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
i) Jedes nichtleere offene Intervall (a, b) ⊂ ℝ ist überabzählbar.
ii) Für jedes nichtleere offene Intervall (a, b) ⊂ ℝ ist die Menge (a, b)∩ℚ abzählbar unendlich,
und die Menge (a, b)\ℚ ist überabzählbar.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass (a, b)∩ℚ nicht leer ist. Fuhren Sie dann die Annahme, ¨
dass (a, b) ∩ ℚ endlich ist, zum Widerspruch.

Answer 1

(i) Ordne die Zahlen aus (a; b) auf einem Halbkreis an und ℝ sei eine Zahlengerade (wie dargestellt):

Dann bildet die Menge der Strahlen von M durch den Halbkreis und durch die Zahlengerade jeden Punkt von (a; b) bijektiv auf ℝ ab. Da ℝ überabzählbar ist, muss auch die Mächtigkeit der Punktmenge auf (a; b) überabzählbar sein.