Für welche Folgen, kann man den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden?

Question

Aufgabe:
In welchem der folgenden Fälle dürfen Sie den Satz von der monotonen Konvergenz auf die Folge von \( \mathcal{L}^{1} \)-messbaren Funktionen \( f_{n}:(0, \infty) \rightarrow \overline{\mathbb{R}}, n \in \mathbb{N} \), anwenden?
a) \( f_{n}=n \chi_{[0,1 / n]} \);
b) \( f_{n}=\frac{1}{n} \chi_{[0, n]} \);
c) \( f_{n}=n \chi_{[0, n]} \).

Problem/Ansatz:

Wenn ich die Monotonie und die Konvergenz richtig geprüft habe, kann ich den Satz der monotonen Konvergenz nur auf die Folge a) anwenden (liege ich da richtig?)

LG Euler

Comments

Nicht ganz. Es stimmt, dass der Satz auf a) anwendbar ist, aber auch auf eine der beiden anderen Folgen. Inwiefern ist Konvergenz zu prüfen?

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@Dojima: Danke dir für deinen Hinweis!

Liege ich zwecks b) dann so richtig?

Monotonie:
Für \( n>m \) und für alle \( x \in[0, n] \) gilt \( \frac{1}{m} \leq \frac{1}{n} \), was bedeutet, dass \( f_{m}(x)=\frac{1}{m} \leq \) \( f_{n}(x)=\frac{1}{n} \).

Konvergenz:
Für jedes \( x>0 \) konvergiert \( f_{n}(x) \) gegen \( f(x)=0 \) für \( n \rightarrow \infty \), da \( \frac{1}{n} \rightarrow 0 \) für \( n \rightarrow \infty \). Das bedeutet, dass für jedes \( x \) und \( \epsilon>0 \) ein \( N \) existiert, sodass für alle \( n>N \) gilt \( \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\epsilon \).

Somit kann ich dann folgern:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{(0, \infty)} f_{n} d \mu=\int \limits_{(0, \infty)} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_{n} d \mu=\int \limits_{(0, \infty)} 0 d \mu=0 \)

Answer 1

Hallo,

ich mache mal eine Antwort draus da es doch etwas länger wird.

Mit meiner Frage wollte ich darauf hinaus, dass man Konvergenz nicht prüfen muss. Es ist lediglich zu prüfen, dass alle \(f_n\) messbar und nicht-negativ sind (d.h. \(f_n(x)\geq0\quad \forall x,\forall n\)), sowie, dass die Funktionenfolge \((f_n)_n\) monoton nicht-fallend ist (d.h. \(f_{n+1}(x)\geq f_n(x)\quad \forall x,\forall n\)).

Dann folgt automatisch, dass für alle \(x\) der Grenzwert \(\lim_{n\to\infty}f_n(x)=:f(x)\) in \(\overline\R\) existiert und die so definierte Funktion \(f:(0,\infty)\to\overline R\) messbar ist. Weiterhin gilt dann $$\lim_{n\to\infty}\int_{(0,\infty)}f_n \,d\mu=\int_{(0,\infty)}f \,d\mu$$

(Es reicht sogar wenn die Voraussetzungen fast-überall gelten).

Diese Voraussetzungen sind bei (a) und (c) erfüllt (wobei in (c) \(f(x)=\infty\quad\forall x\) gilt).

Zu (b):

Du hattest gesagt

Monotonie:
Für \( n>m \) und für alle \( x \in[0, n] \) gilt \( \frac{1}{m} \leq \frac{1}{n} \), was bedeutet, dass \( f_{m}(x)=\frac{1}{m} \leq \) \( f_{n}(x)=\frac{1}{n} \)

tatsächlich ist aber für \(n>m:\) \(\frac{1}{n}<\frac{1}{m}\). Damit ist die Funktionenfolge nicht nicht-fallend.

Die Konvergenz \(\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0=:f(x)\) stimmt (ist aber wie gesagt nicht zu prüfen).

Man kann dann auch leicht berechnen, dass \(\int_{(0,\infty)}f_n\,d\mu=1\) also

$$\lim_{n\to\infty}\int_{(0,\infty)}f_n \,d\mu=1\neq 0=\int_{(0,\infty)}f \,d\mu$$

Comments

@Dojima: Danke dir vielmals für deine erklärende Antwort!

Es ist lediglich zu prüfen, dass alle \(f_n\) messbar und nicht-negativ sind

Das hatte ich nicht gescheckt - also danke für die Erklärung ☺

LG Euler

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Nach kurz nachgefragt zwecks c):

\( \int \limits_{(0, \infty)} f_{n} d \mu=\int \limits_{(0, n]} n d \mu=n \cdot \mu((0, n])=n \cdot n=n^{2} \)

Wenn \( n \rightarrow \infty \), dann divergiert \( n^{2} \) gegen unendlich, d.h., \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{(0, \infty)} f_{n} d \mu=\infty \)

Stimmt das so?

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Ja, das stimmt (obwohl man in \(\overline \R\) lieber sagen sollte, dass \(n^2\) gegen \(\infty\) konvergiert)