Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X quer größer als 303 ist?

Question

Aufgabe:

Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit Erwartungswert 300 und Varianz 50. Es wird eine einfache Zufallsstichprobe X1,X2,…,X12 vom Umfang n=14 gezogen und der Stichprobenmittelwert X quer berechnet.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X quer größer als 303 ist?

Ich weiß leider nicht wie man auf die Lösung kommt.

Answer 1

Ich vermute es ist \(n=12\).

Die Variable \(\overline{X}\) ist normalverteilt mit den Parametern \(\overline{\mu}=\mu=300\) und \(\overline{\sigma}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{50}{\sqrt{12}}\). Berechne damit \(P(X>303)=1-P(X\leq 303)=\Phi_{\overline{\mu},\overline{\sigma}}(303)\).

Answer 2

Wenn die Stichprobe x1, x2, x3, ..., x12 genommen wird dann sollte n = 12 sein. Bei n = 14 sollte die Stichprobe eher x1, x2, x3, ..., x14 lauten.

Das sollte man vorher klären. Ich rechne mit n = 14, wie im Test geschrieben.

P(X-quer > 303) = 1 - Φ((303 - 300)/√(50/14)) = 0.0562 = 5.62%

Comments

Ja es sind n=14.

Aber ich verstehe nicht wie ich 1 - Φ((303 - 300) ausrechne.

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Tabelle der Normalverteilung.

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Aber welche Werte muss ich aus der Tabelle ablesen?

Verstehe es gerade leider nicht. :D

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Φ((303 - 300)/√(50/14))

Steht doch da: (303 - 300)/√(50/14)

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Aber da kommt dann doch 1,58745 raus und dann soll ich den Wert bei z=1,58 ablesen?

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1,59. Richtig runden.

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Ok verstehe z=1,59 wären dann laut Tabelle 0,94408. Dann muss ich noch 1-0,94408 rechnen was 0,05592 also 5,59% sind. Aber das sind ja nicht die 5,62% aus der Lösung.

Was mache ich falsch?

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Beachte, dass dein Wert ja nur auf 2 Nachkommastellen gerundet ist.

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Also liegt es daran das ich mit z=1,59 und nicht 1,58745 rechne und daher nur auf 5,59% komme?

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Ja genau. Ich gehe mal davon aus, dass du Tabellen ablesen kannst.

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Das ist aber ziemlich gemein da ich mit der Tabelle die ich gegeben habe ja gar nicht 1,58745 ablesen kann sondern nur 1,59 und damit nicht auf das richtige Ergebnis komme.

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Na, wenn die gegebene Tabelle nur auf 2 Nachkommastellen genau ist und man damit arbeiten muss, dann ist auch das Endergebnis entsprechend nur ein ungefähres Ergebnis.

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Wenn ihr mit der Tabelle arbeiten sollt, dann ist das normal eingeplant, das die Werte ungenauer sind und dann wird kein Fehler dafür gegeben. Ansonsten gehen die Dozenten evtl. davon aus, dass ihr technische Hilfsmittel habt. Wir mussten damals noch in der Schule bei Werten von 1,58745 zwischen den nächst anliegenden Werten linear nähern.

Aber die Lehrer wissen genau, dass das heutige Schüler eh nicht mehr können. Oder nicht brauchen, wenn es technische Hilfsmittel gibt.

Und wer (303 - 300)/√(50/14) mit dem Taschenrechner berechnet, der kann doch auch die Normalverteilung evtl. gleich mit dem Taschenrechner berechnen.

Wir hatten hier aber auch schon Aufgaben, die vom System als falsch bewertet wurden, weil sie mit dem Taschenrechner berechnet wurden. Dort musste man die Tabellen ablesen, damit die Aufgabe richtig gewertet wird. In der Aufgabe waren aber auch die Tabellen der Normalverteilung verlinkt, was der einzige Hinweis darauf war das die auch zu benutzen sind. Das fand ich schon sehr gemein.

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Ja das stimmt. Leider wäre bei der Aufgabe nur 5,56 richtig gewesen. :D

Aber ich habe es jetzt verstanden.

Vielen Dank für die Späte Hilfe.

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5,56 ? oder hast du dich da verschrieben?

Das wäre ja weder der Wert über eine Tabelle noch exakt über den Taschenrechner

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Oh, entschuldige ich meinte 5,62.