Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Z größer als 0,5?

Question

Aufgabe:

Z ist eine Zufallsvariable mit Dichte

f(x):=3x^2, für xE[0,1] Und f(x):=0 für alle sonstigen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Z größer als 0,5?

Problem/Ansatz:

Ich weiß bei dieser Aufgabe gar nicht, wie ich sie angehen sollte. Ich dachte, es könnte so 50/50 sein. Das wäre aber zu einfach.

Ich habe alles durchsucht (diverse Bücher und Internet) und komme nicht weiter.

Comments

Die Dichte ist die Fläche unter der Funktion.

-> Integral von 0,5 bis 1 berechnen.

Answer 1

Z ist eine Zufallsvariable mit Dichte f(x)

\(P(Z \leq z) = \int\limits_{-\infty}^z f(x)\,\mathrm{d}x\)

f(x):=3x², für xE[0,1] Und f(x):=0 für alle sonstigen.

\(\int\limits_{-\infty}^z f(x)\,\mathrm{d}x = \begin{cases}0&x<0\\\int\limits_{0}^z 3x^2\,\mathrm{d}x&0\leq x \leq 1\\1&x > 1\end{cases}\)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Z größer als 0,5?

\(P(Z > z) = 1 - P(Z \leq z)\)

Answer 2

$$f(x):=3x^2$$

$$Z(x>0,5)=  \int\limits_{0,5}^{1} 3x^2dx$$

$$Z(x>0,5)=1-0,5^3=0,875=87,5\%$$