Zeigen Sie: X ist genau dann eine Gerade durch p, wenn die Menge X −p := {x−p | x ∈ X}

Question

Aufgabe:

Sei X ⊂ R
2 und p ∈ X. Seien weiter V, W ⊂ R
n Untervektorräume.
a) Zeigen Sie: X ist genau dann eine Gerade durch p, wenn die Menge X −p := {x−p | x ∈ X}
ein Untervektorraum von R
2 der Dimension 1 ist.
b) Zeigen Sie: dim(V + W) ≤ dim(V ) + dim(W). Geben Sie ein Beispiel an, bei dem „<“ gilt.
c) Zeigen Sie: Gilt V ∩ W = {0}, so folgt dim(V + W) = dim(V ) + dim(W).
Hinweis: Um mit der Dimension arbeiten zu können, müssen wir ihre Definition verwenden. Bei
allen Aufgabenteilen werden also (geschickt gewählte) Basen der beteiligten Untervektorräume
eine Rolle spielen müssen.

Problem/Ansatz:

wie soll ich bitte mit der Aufgabe anfangen?, für a) darf ich diesen Korollar verwenden.

Korollar 3.126
Ist G ⊂ R²
eine Gerade und gilt p,q ∈ G sowie p ≠ q, so folgt G = Gq,q−p.

Answer 1

X ist genau dann eine Gerade durch p, wenn die Menge X −p := {x−p | x ∈ X}
ein Untervektorraum von R  2 der Dimension 1 ist.

"==>"   Sei X eine Gerade durch p. Vermutlich habt ihr ja schonmal sowas

bewiesen wie: Jede Gerade durch p enthält auch noch mindestens einen

von p verschiedenen Punkt aus ℝ² . Sei also q∈X mit q≠p.

Mit dem Korollar folgt: X=G_p,q-p . Das heißt ja wohl :

Gerade durch p mit Richtungsvektor q-p bzw. mit zugehörigem

Untervektorraum,der durch q-p erzeugt wird.

Also gilt für alle x∈X : ∃t∈ℝ mit x=p+t*(q-p), also x-p = t*(q-p)  und

auch umgekehrt: Für jedes x∈ℝ ist x=p+t*(q-p) ∈ X.

Also ist die Menge X −p := {x−p | x ∈ X} der durch q-p ( ≠0 wegen p≠q)

erzeugte 1-dim Untervektorraum von ℝ².

"<==" Sei X⊂ℝ² und p∈X und die Menge U:= X −p = {x−p | x ∈ X} ein

Untervektorraum von ℝ² der Dimension 1.  Dann ist X = p+U wobei

U ein 1-dim Untervektorraum von ℝ² ist, also ist X eine Gerade durch p.

Comments

danke schön.

für b) und c) habe ich Basis für vektoren V und W betrachtet

b) seien Basen von der Vektoren  V= (v_1,......,v_{m), und W=}(v1,......,v_k),