Zeigen Sie: ker T1 = ker T2 gilt genau dann, wenn T1=ST2 mit S als invertierbarer Operator

Question

Aufgabe:
Sei W endlich-dimensional und seien T₁, T₂ ∈ L(V, W). Zeigen Sie: ker T₁ = ker T₂ gilt genau
dann, wenn ein invertierbarer Operator S ∈ L(V ) mit T₁ = ST₂ existiert. Interpretieren Sie
diese Aussage als Aussage uber homogene lineare Gleichungssysteme: A₁X = 0 und A₂X = 0.

Hinweis: Beginnen Sie mit einer Basis (T₂v₁, . . . , T₂v_m) von im T₂ und ergänzen Sie diese zu
einer Basis von W.

Problem/Ansatz:

(Für die Hinrichtung)
Soweit habe ich erstmal herausgefunden, dass dim(imT₁)=dim(imT₂) und somit eine invertierbare lineare Abbildung zwischen den beiden Vektorräumen existieren muss.

(Für die Rückrichtung)
Leider gar keine Idee.

Answer 1

Die Bedingung "ker T1 = ker T2" bedeutet, dass die homogenen linearen Gleichungssysteme A1X = 0 und A2X = 0 dieselbe Lösungsmenge haben.

Die Bedingung "ein invertierbarer Operator S ∈ L(V) mit T1 = ST2 existiert" bedeutet, dass es eine Abbildung S gibt, die die beiden Gleichungssysteme so ineinander "umwandelt", dass sie äquivalent sind.

Zusammen bedeutet dies also, dass die beiden homogenen linearen Gleichungssysteme A1X = 0 und A2X = 0 äquivalent sind, wenn es eine Abbildung S gibt, die die beiden Gleichungssysteme ineinander "umwandelt".