Den Normalenvektor bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimme den Normalenvektor.

Problem/Ansatz:

Ich bekomme es einfach nie hin dieses Gleichungssystem aufzulösen. Egal wie ich es drehe, der Nullvektor, den ich berechne, stimmt nicht. Kann mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe und worauf ich achten muss?

Text erkannt:

Koordinatenform von Parameterform bestimmen.
$E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)$
$\vec{n}$ bestimmen:
$\begin{array}{l} \text { I }\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}\right)=0 \text { und III }\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}\right) \\ \text { I } n_{1}+n_{2}+2 n_{3}=0 \\ \text { II }-n_{1}+2 n_{2}-n_{3}=0+\text { I } \\ 3 n_{2}+n_{3}=0 \\ 3 n_{2}=-n_{3} \mid \operatorname{sei} n_{2}=1 \\ 3 \cdot 1=-n_{3} \mid:-1 \\ -3=n_{3} \\ n_{1}+1 \cdot 1+(-3) \cdot 2=0 \\ n_{1} \cdot 5 \quad=01+5 \\ n_{1}=5 \\ \vec{n}=\left(\begin{array}{r} 5 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right) \\ \end{array}$

Comments

Kleiner Hinweis:
Du verwendest das Vektorprodukt-Symbol $\times$ für das Skalarprodukt. Das kann zu großer Verwirrung führen, wenn du Aufgaben löst, in denen sowohl Vektor- als auch Skalarprodukt vorkommen.

Answer 1

Aus $3 n_2 + n_3 = 0$

folgt NICHT $3 n_2 =n_3$

Comments

Stimmt, aber es kommt irgendwie immer noch nicht hin :(

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Wieso? Passt doch!

Answer 2

Wo ist denn das Problem? Deine Lösung (5,1,-3) ist doch ein Normalenvektor, wie die Probe zeigt.

Jetzt komm nicht mit "in der Lösung steht aber...". Erstens muss das nicht stimmen, zweitens gibt es unendlich viele richtige Lösungen. Jedes Vielfache ist auch Normalenvektor (mach die Probe).

Im übrigens kann man hier leichter einen Normalenvektor über das Kreuzprodukt bestimmen, was (-5,-1,3) liefern würde (was auch ein Normalenvektor ist).