Wahrscheinlichkeit des Ausschusses durch Normalverteilung berechnen

Question

Von einer Lieferung von 20000 Stück wird eine Stichprobe von 10 Stück untersucht. Der Abnehmer nimmt die Lieferung an, wenn die Stichprobe höchstens 2 Stück Ausschuss enthält.
Berechnen Sie näherungsweise mithilfe der Normalverteilung und exakt mit der Binomialverteilung.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Sendung annimmt, wenn man mit 3% Ausschuss rechnet?

Mein Ansatz:

Für die Binomialverteilung habe ich durch Geogebra den Ausschuss berechnet.

dafür n=10 ; p=0,03 eingesetzt und dann P (x<2) berechnen lassen (0,9972).

Dadurch konnte ich den Erwartungswert (0,3) und Standardabweichung (0,5394) ablesen.

Leider weiß ich nicht, was ich mit dieser Information machen soll bzw. wie ich ich die Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung ungefähr berechnen kann.

Answer 1

P (x<2)

Höchstens heißt \(\leq \)!

Dadurch konnte ich den Erwartungswert (0,3) und Standardabweichung (0,5394) ablesen.

Das passt, aber das kannst du unabhängig von der zuvor berechneten Wahrscheinlichkeit ausrechnen. Ein "dadurch konnte ich ... ablesen" ist also falsch. ;)

Normalverteilung: \(P(X\leq k) =\Phi\left(\frac{k-\mu+0{,}5}{\sigma}\right)\).

Comments

Berechne \(\mu\) und \(\sigma \) mit den Angaben n = 20000 und p = 0,03

Das ist leider falsch. Das hatte der/die Fragesteller*in schon völlig richtig berechnet.

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Stimmt, du hast Recht. Habe mich von dem "dadurch konnte ich" beirren lassen, denn das ist meine Voraussetzung dafür, dass man das berechnen kann.

Allerdings ist die Berechnung über die Normalverteilung dann schlecht, da die Laplace-Bedingung \(\sigma>3\) nicht erfüllt ist.

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Allerdings ist die Berechnung über die Normalverteilung dann schlecht, da die Laplace-Bedingung \(\sigma>3\) nicht erfüllt ist.

Ich weiß. Habe ich in meiner Antwort ja auch aufgeschrieben gehabt.

Wobei es eigentlich fast egal ist, ob man eine Wahrscheinlichkeit von 99.72% oder 99.998% hat.

Das ist ja nicht mal ein Prozentpunkt als Differenz.

Answer 2

Binomial:

P(X<=2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) = 0,97^10 + 10*0,03*0,97^9 + (10über2)*0,03^2*0,97^8 = 0,997235050549

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

Answer 3

Von einer Lieferung von 20000 Stück wird eine Stichprobe von 10 Stück untersucht. Der Abnehmer nimmt die Lieferung an, wenn die Stichprobe höchstens 2 Stück Ausschuss enthält. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Sendung annimmt, wenn man mit 3% Ausschuss rechnet? Berechnen Sie näherungsweise mithilfe der Normalverteilung und exakt mit der Binomialverteilung.

Binomialverteilung

n = 10 ; p = 0.03

P(X ≤ 2) = ∑ (x = 0 bis 2) ((10 über x)·0.03^x·0.97^(10 - x)) = 0.9972

Das hast du völlig richtig berechnet. Auch wenn du X < 2 statt X ≤ 2 notiert hattest.

Normalverteilung

μ = 0.3 ; σ = 0.5394

P(X ≤ 2) = Φ((2 + 0.5 - 0.3)/0.5394) = 0.99998

Auch Erwartungswert und Standardabweichung hast du richtig berechnet. Einfügen in die Formel für die Normalverteilung inkl. Stetigkeitskorrektur ist dann nicht mehr so wild. Wichtig. Da die Standardabweichung nicht größer als 3 ist, darf man eigentlich nicht durch die Normalverteilung nähern.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!

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Dürft ihr alles mit Geogebra rechnen? Dann kannst du dort natürlich auch die Normalverteilung berechnen lassen.

Wie Geogebra die ausgegebenen Werte runden soll, kann man vorher angeben.

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Ja, dürfen wir mittlerweile, da es bei der Matura auch erlaubt ist..

Danke für das Zeigen.