Abbildung auf Linearität überprüfen, wie vorgehen?

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe sei es zu überprüfen, ob die nachfolgende Abbildung A: R⁴ -> R⁴ linear ist und gegebenenfalls soll eine Matrix mit y = Ax angegeben werden.

a)

y_k = $$\sum \limits_{i=1}^{k} x_{i} $$ k = 1,..., 4

b)

y₁ = λ und y_k = x_k-1 + y_k-1 für k = 2,...,4

Problem/Ansatz:

Ich weiß irgendwie nicht, wie ich hier vorgehen soll.

Löse ich beispielsweise das Summenzeichen bei a) auf, so komme ich auf:

y₁ = x₁

y₂ = x₁ + x₂

y₃ = x₁ + x₂ + x₃

y₄ = x₁ + x₂ + x₃ + x₄

Aber was sagt mir das jetzt?

Answer 1

Fasse Deine \(y_k\) als Vektor auf. Wann ist eine Abbildung linear? Prüfe die Bedingungen und rechne es nach.

Comments

Hmm, also irgendwie komme ich trotzdem nicht wirklich weiter. Also, seien die y_k meine Vektoren, so wären diese:

$$y_1 = \begin{pmatrix} x_1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}, y_2 = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\0\\0 \end{pmatrix},  y_3 = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\0 \end{pmatrix},   y_4 = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}$$

Wie mache ich denn jetzt weiter damit ich die Linearität überprüfen kann?

Wäre meine Matrix mit y = Ax dann diese?
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 1 & 1 & 0 &0\\1&1&1&0\\1&1&1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & 0 & 0 &0 \\ x_1 & x_2 & 0 &0\\x_1&x_2&x_3&0\\x_1&x_2&x_3&x_4 \end{pmatrix}$$

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Du verstehst das falsch. Der Vektor \(y\in\mathbb{R}^4\) besteht aus den 4 Komponenten \((y_1,y_2,y_3,y_4)^T\).

Deine Matrix stimmt aber, auch wenn du das Matrix-Vektor-Produkt falsch berechnet hast, denn \(Ax\) ergibt einen Vektor.

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Oh, stimmt. So müsste es dann aber richtig sein, oder?

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 1 & 1 & 0 &0\\1&1&1&0\\1&1&1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\\ x_1 + x_2\\x_1+x_2+x_3\\x_1+x_2+x_3+x_4 \end{pmatrix}$$

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Jetzt hast du es. Und ist es linear?

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Kann gut sein, dass meine Herangehensweise komplett falsch ist, aber ich habe das ganze jetzt wie folgt gelöst:

$$f(x_1,x_2,x_3,x_4) = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_1 + x_2\\ x_1 + x_2 + x_3\\ x_1+x_2+x_3+x_4 \end{pmatrix} = (x_1,   x_1+x_2,   x_1+x_2+x_3,   x_1+x_2+x_3+x_4)$$

Daraufhin auf Additivität und Homogenität überprüft und zum Ergebnis gekommen, dass beides erfüllt ist und die Abbildung entsprechend linear ist.

Ist das richtig?

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Ja, es ist linear. Aber alleine schon wegen der Matrixdarstellung. Abbildungen der Form \(f(x)=Ax\) mit einer Matrix \(A\) sind linear.

Deine Gleichung oben gilt aber nicht. Denn Spaltenvektor ungleich Zeilenvektor.

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Ist dies generell der Fall oder hätte ich einfach nur ein ^T darüberschreiben müssen (also transponieren)?

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Generell so. Aber ja mit dem transponiert wäre das wieder in Ordnung.