Lösen Sie das lineare Gleichungssystem x + 2y = 1 , 2x + y = 1 uber ¨ F2 und F3.

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem
x + 2y = 1 , 2x + y = 1
uber ¨ F2 und F3.

Answer 1

Das geht genauso wie in \(\R\), nur muss eben in \(F_2\) bzw. \(F_3\) gerechnet werden. Das ist ja der Sinn eines Körpers, dass immer die gleichen Rechenregeln gelten.

Also, z.B. erste Gleichung nach x auslösen, in die zweite einsetzen usw..

Beachte, dividieren ist nichts anderes als multiplizieren mit dem Inversen, und die gibt es ja in einem Körper.

Comments

Für F2: x= 1 und y= 1

Für F3: x= 1 und y= 1

Zunächst einmal habe ich die erste Gleichung( x+2y=1) umgeformt und in die zweite Gleichung(2x+y= 1) eingesetzt. Dann habe ich sie nach y aufgelöst und bekam 1/3 raus.

Danach habe ich diesen Wert in die zweite Gleichung zurückgesetzt und nach x aufgelöst. Ich habe wieder 1/3 rausbekommen. Um das LGS über F2 zu lösen, interpretieren wir die Addition und die Multiplikation als Operationen im Modulo 2-Körper. Die Gleichungen wären Die Gleichungen wären:
1. x+0y=1

2. 0x+y=1

Über F3 betrachten wir:

1. x+2y=1 mod 3

2. 2x+y= 1 mod 3
Ich habe die folgenden Lösungen berechnet, bin mir aber unsicher, ob sie korrekt sind. Könntest du bitte überprüfen und den richtigen Lösungsweg angeben?

Vielen Dank im Voraus!

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Es gibt hier (wie bei vielen Aufgaben) nicht den richtigen Lösungsweg, sondern viele. Hauptsache, das Endergebnis stimmt.

Ob Dein Ergebnis stimmt, kannst (und solltest!) Du selbst über die Probe prüfen. Ergebnis: Für F2 stimmt es, für F3 nicht.

Wie hast Du in F3 gerechnet?

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Über F3 betrachten wir:

1. x+2y=1 mod 3

2. 2x+y= 1 mod 3

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Über F3 betrachten wir:

1. x+2y=1 mod 3

2. 2x+y= 1 mod 3

addiere doch mal beide Gleichung (in F3!). Was kommt dann raus?

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3x+3y=2 oder?

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Du kannst ganz normal mit Auflösen und Einsetzen vorgehen. Wenn Du das System in F3 erledigt hast, kannst Du anschließend (bitte nicht gleichzeitig) Werners Weg probieren - wie gesagt, es gibt viele Lösungswege. Der beste ist der, den Du selbst erarbeitet hast.

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Wir haben diesen spezifischen Lösungsweg in der Vorlesung bisher nicht behandelt.

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Welchen? Auflösen und Einsetzen kennt man aus der Schule. Beachte, 3 und auch 1/3 gibt es nicht in F3, dort gibt es nur 0,1,2.