Aber wie hilft mir das, die Beschränkung zu zeigen?

Question

Aufgabe:

Sei f : R → R eine Funktion, so dass limx→0 f(x) existiert. Ziegen Sie, dass es ein a > 0
gibt, so dass die Einschränkung von f auf [−a, a] beschränkt ist.

Problem/Ansatz

Ich werde leider aus dem Skript meiner VL nicht wirklich schlauer und stehe komplett auf dem Schlauch...

Zu Stetigkeit findet sich wohl immer für alle Epsilons mindestens ein Delta usw. Aber wie hilft mir das, die Beschränkung zu zeigen ? Wenn das Intervall beschränkt ist, dann muss es ja auch ein Supremum geben mit bestimmten Eigenschaften.

Answer 1

Sei \(L = \lim\limits_{x\to 0} f(x)\)

Sei \(a > 0\) so dass \(|f(x)-L| \leq 1\) für alle \(x\in [-a,a]\setminus \{0\}\).

Seien \(m = \min \{L-1, f(0)\}\) und \(M = \max \{L+1, f(0)\}\).

Dann ist \(f\) auf \([-a, a]\) nach unten besclränkt durch \(m\) und nach oben beschränkt durch \(M\).

Comments

Hey danke dir, du hast mir die Lösung quasi direkt geschrieben. Finde ich sehr nett von dir. Ich überleg mir mal ob ich dazu noch eine Frage habe, dafür muss ich mich noch durcharbeiten aber nach dem ersten Lesen gefällt mir diese Antwort.

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Wie kommt man auf SEI / SEIEN?

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Ich denke hierbei ist mit L ein Grenzwert gemeint der von der Abbildung erreicht wird wenn man lim x -> 0 schickt.

und m und M sind halt dann die jeweiligen Grenzen der Abbildung. Vielleicht konnte ich irgendwie weiterhelfen.

Desweiteren ist das zb. Kapitel 9 aus der Vorlesungsreihe Analysis 1. Zuvor hatte man schon sowas wie Beschränktheit besprochen und somit darf man die Ideen benutzen.

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Wäre dann nicht eher f nach oben durch 1+L beschränkt und nach unten durch L-1?

Aber was wäre, wenn die Funktion bei 0 entgleist und f(0) überhaupt nichts mit L zu tun hat?

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@Mathhilf Ich habe \(m\) und \(M\) nicht richtig angegeben. Ist überarbeitet, müsste jetzt stimmen.

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Ja, ich denke, jetzt ist es klar.