Beschränkung der Ableitung impliziert Stetigkeit
Problem/Ansatz:
Ich verstehe einen Teil des Beweises aus meiner Vorlesung nicht ganz.
Wie kommt der Abschnitt nach dem " \( \begin{aligned} f(\mathrm{x})-f\left(\mathrm{x}^{0}\right) & =\end{aligned} \) " zustande?
Vielen Dank schon mal :)
For \( \left\|x-x^{0}\right\|_{\infty}<\varepsilon, \varepsilon>0 \) sufficiently small we write:
\( \begin{aligned} f(\mathrm{x})-f\left(\mathrm{x}^{0}\right) & =\left(f\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, x_{n}\right)-f\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, x_{n}^{0}\right)\right) \\ & +\left(f\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, x_{n}^{0}\right)-f\left(x_{1}, \ldots, x_{n-2}, x_{n-1}^{0}, x_{n}^{0}\right)\right) \\ & \vdots \\ & +\left(f\left(x_{1}, x_{2}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)-f\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)\right)\end{aligned} \)