Question

Beschränkung der Ableitung impliziert Stetigkeit

Problem/Ansatz:

Ich verstehe einen Teil des Beweises aus meiner Vorlesung nicht ganz.

Wie kommt der Abschnitt nach dem " \( \begin{aligned} f(\mathrm{x})-f\left(\mathrm{x}^{0}\right) & =\end{aligned} \) " zustande?

Vielen Dank schon mal :)

For \( \left\|x-x^{0}\right\|_{\infty}<\varepsilon, \varepsilon>0 \) sufficiently small we write:

\( \begin{aligned} f(\mathrm{x})-f\left(\mathrm{x}^{0}\right) & =\left(f\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, x_{n}\right)-f\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, x_{n}^{0}\right)\right) \\ & +\left(f\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, x_{n}^{0}\right)-f\left(x_{1}, \ldots, x_{n-2}, x_{n-1}^{0}, x_{n}^{0}\right)\right) \\ & \vdots \\ & +\left(f\left(x_{1}, x_{2}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)-f\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)\right)\end{aligned} \)

Comments

Das ist eine Teleskopsumme.

$$ f(x) - f(x^0) = f(x_1,...,x_n) - f(x_1^0,...,x_n^0) $$

Die Terme dazwischen heben sich immer raus. Der Minus-Term einer Klammer addiert sich mit dem Plus-Term der nächsten Klammer zu 0.

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Stimmt! Danke :)

Answer 1

Hallo

du willst f(x₁,x_2,.....,x_n)-f(x₁^0 ,x₂^0 ,.....x_n^0)

Also der erste Term - dem letzten. dann schreibst du es so dass du immer nur eins der x_i und x_i^0 änderst, indem du es abziehst und dann wieder addierst.

Gruß lul