Aloha :)
Für eine \(\mathbb K\)-lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) zwischen zwei Vektorräumen \(V, W\) gilt:$$(1)\;\;f(x+y)=f(x)+f(y)\quad\text{für }x,y\in A\qquad\text{(additiv)}$$$$(2)\;\;f(k\cdot x)=k\cdot f(x)\quad\text{für }k\in\mathbb K\,,\,x\in A\qquad\text{(homogen)}$$Wenn nichts anderes gesagt wird, ist mit \(\mathbb K\) der Körper \(\mathbb R\) der reellen Zahlen gemeint.
Man kann auch beide Bedinungen zu einer zusammenfassen:$$f(k\cdot x+y)=k\cdot f(x)+f(y)\quad\text{für }k\in\mathbb K\,,\;x,y\in A$$
Eine ganz wichtige Eigenschaft von linearen Abbildungen solltest du im Hinterkopf haben. Da es keinen Vektorraum ohne Ursprung gibt, also der Nullvektor in jedem Vektorraum enthalten ist, muss für lineare Abbildungen Folgendes gelten:$$f(0)+f(0)\stackrel{(1)}{=}f(0+0)=f(0)\quad\stackrel{-f(0)}{\implies}\quad f(0)=0$$Jede lineare Abbildung bildet die Null (den Nullvektor) auf die Null (den Nullvektor) ab.
zu a) \(\;\rho\colon\mathbb R\to\mathbb R\,,\,\rho(x)=ax+b\;\)
Da die Null auf die Null abgebildet werden muss, ist klar:$$0\stackrel!=\rho(0)=a\cdot0+b=b\implies\pink{b=0}$$Für \(\rho(x)=a\cdot x\) prüfen wir die Linearität:$$\rho(k\cdot x+y)=a(k\cdot x+y)=k\cdot ax+ay=k\cdot\rho(x)+\rho(y)\quad\checkmark$$Für den Parameter \(a\in\mathbb R\) gibt es also keine Einschränkungen.
zu b) Wir schreiben uns die Funktion \(\rho\colon\mathbb R^3\to \mathbb R^4\) in Matrixform auf:$$\rho(x;y;z)=\begin{pmatrix}y\\x+y\\y+z\\z\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}_{\eqqcolon\mathbf M}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$und prüfen die Linearität mit \(k\in\mathbb R\) und \(\vec a;\vec b\in\mathbb R^3\) und den Rechenregeln für Matritzen:$$\rho(k\cdot\vec a+\vec b)=\mathbf M(k\cdot\vec a+\vec b)=k\cdot\mathbf M\cdot\vec a+\mathbf M\cdot\vec y=k\cdot\rho(\vec a)+\rho(\vec b)\quad\checkmark$$
Surjektiv bedeuet, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb R^4\) mindestens 1-mal getroffen wird. Wir wählen das Element \((1;1;1;1)^T\) aus der Zielmenge \(\mathbb R^4\) aus und prüfen, ob wir es mit den 3 Basisvektoren, die zu der Matrixdarstellung geführt haben, darstellen können:$$x\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}\stackrel?=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$$Wegen der ersten Komponente führt an \(y=1\) kein Weg vorbei, wegen der letzten Komponente muss zwingend \(z=1\) sein. Dann ist die zweite Komponenten gleich \(1\), sodass \(x=0\) sein muss. Die dritte Komponente ist aber dann gleich \(2\), im Widerspruch zu der Forderung, dass sie gleich \(1\) sein soll. Das Element \((1;1;1;1;)^T\) aus der Zielmenge wird also nicht getroffen.
Die Funktion ist nicht surjektiv.\(\quad\checkmark\)
Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Wir überprüfen das zunächst nur für das Nullelement \(\vec 0\in\mathbb R^4\), indem wir die Funktion gleich Null setzen:$$\small\rho(x;y;z)=\vec 0\implies\begin{pmatrix}x\\x+y\\y+z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}\implies\left\{\begin{array}{c}x=0\\x+y=0\\y+z=0\\z=0\end{array}\right\}\implies(x;y;z)=(0;0;0)$$Der Nullvektor ist also das einzige Argument der Definitionsmenge \(\mathbb R^3\), das auf den Nullvektor der Zielmenge \(\mathbb R^4\) abgebildet wird.
Nun untersuchen wir die Injektivität der Funktion allgemein, indem wir annehmen, es gibt zwei Argumente \(\vec a\) und \(\vec b\), die dasselbe Ziel treffen:$$f(\vec a)=f(\vec b)\implies \mathbf M\cdot\vec a=\mathbf M\cdot\vec b\implies \mathbf M\cdot\vec a-\mathbf M\cdot\vec b=\vec 0\implies\mathbf M(\vec a-\vec b)=\vec 0$$Da wir oben festgestellt haben, dass \(\vec 0\in\mathbb R^3\) als einziges Element auf \(\vec 0\in\mathbb R^4\) abgebildet wird, muss \((\vec a-\vec b)=\vec 0\) bzw. \(\vec a=\vec b\) sein. Es gibt also keine zwei verschiedenen Argumente, die dasselbe Ziel treffen.
Die Funktion ist injektiv.\(\quad\checkmark\)
