Ableitungen der E - Funktionenschar?

Question

Kann mir jemand helfen, die Ableitungen der E - Funktionenschar zu machen?

Ich schaffe es selber nicht mit der ersten und zweiten Ableitung, auf die Ableitung von Aufgabe zwei zu kommen.

Info: Aufgabe 1 habe ich erledigt und es geht mir lediglich um die erste und zweite (und dritte) Ableitung der Funktionenschar.

Diese Aufgaben sind gestellt.

Text erkannt:

Gegeben ist die Funktionenschar \( f_{a} \) mit ihren Graphen \( K_{a} \) durch:
\( f_{a}(x)=\left(2 e-e^{a \cdot x}\right) \cdot e^{a \cdot x} ; \quad x \in R \quad \text { und } a \in R^{+} \)
eine Stammfunktionenschar lautet:
\( f_{a}(x)=\frac{1}{2 a} \cdot\left(4 e-e^{a \cdot x}\right) \cdot e^{a \cdot x} ; \)
1: Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte aller \( \mathrm{K}_{\mathrm{a}} \) (der Funktionen).
2: Zeigen Sie, dass sich die zweite Ableitung von \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) wie folgt darstellen lässt:
\( f_{a}{ }^{\prime \prime}(x)=2 a^{2} \cdot\left(e-2 \cdot e^{a \cdot x}\right) \cdot e^{a \cdot x} \)

Ich habe versucht, diese ins System abzutippen, dies funtioniert leider nicht wirklich, da der Exponent nicht erkannt wird und ich dann entweder eâ*x oder e^(a*x) schreiben muss, war mir nicht sicher ob das verständlich ist, deswegen der Upload.
Ich verstehe leider echt wenig, es würde mir aber sehr helfen, wenn jemand die ersten drei Ableitungen, mit einer Erklärung machen könnte.

Comments

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 1

hallo

1- (e^ax)'=a*e^ax

2- Produktregel (2e-e^ax)*e^ax=(2e-e^ax)'*e^ax+(2e-e^ax)*(e^ax)'=-ae^ax*e^ax+(2e-e^ax)*ae^ax

a*e^ax ausklammern; ae^ax(-e^ax+2e-e^ax)=ae^ax(2e-2e^ax)

hallo die nächste Ableitung nach den gleichen Rezept  es ist ja wieder fast dasselbe also hoff ich du hast aus der ersten gelernt. statt dir vorzurechnen, korrigier ich lieber wie du die zweite Ableitung machst, die Kontrolle dazu hast du ja!

Gruß lul

Answer 2

\( f_{a}(x)=\left(2 e-e^{a \cdot x}\right) \cdot e^{a \cdot x} ; \quad x \in R \quad \text { und } a \in R^{+} \)

Das ist ja ein Produkt mit den Faktoren

\(u(x)=2 e-e^{a \cdot x} \)      und     \(v(x)=e^{a \cdot x} \)

Das gibt erstmal mit der Kettenregel

\(u ' (x)=-ae^{a \cdot x} \)     und     \(v ' (x)=ae^{a \cdot x} \)

Dann ergibt die Produktregel ja u·v' + v·u' also

\( f_{a}'(x)=\left(2 e-e^{a \cdot x}\right) \cdot ae^{a \cdot x}  - e^{a \cdot x} \cdot ae^{a \cdot x}\)

\( =  ae^{a \cdot x} (2 e-e^{a \cdot x}   - e^{a \cdot x} ) =  ae^{a \cdot x} (2 e-2e^{a \cdot x} ) \)

\( =  2ae^{a \cdot x} (e- e^{a \cdot x} ) \)

Für f '' entsprechend mit

\(u(x)=e-e^{a \cdot x} \)      und     \(v(x)=2ae^{a \cdot x} \)

Answer 3

Produktregel anwenden:

u= 2e- e^(ax) -> u'= -a*e^(ax)

v= e^(ax) -> v' = a*e^(x)

f '(x) = -a*e^(ax)*e^(ax) + (2e-e^(ax))*a*e^(ax))

Fasse weiter zusammen und klammere a*e^(2ax) aus.