Wahrscheinlichkeit mindestens 2 Gewinne bei 10 mal Spielen.

Question

Beim einen Spiel sind die Gewinnausschichten 1 zu 10,

wenn ich 10 mal spiele dann sind die chancen auf min.1 Gewinn = 1 - 0,9¹⁰ = 0,651 = 65,1%,

wie muß ich jetzt rechnen bei min.2 Gewinne?

Gruß João

Answer 1

Die Binomalverteilung

B ( n , k , p ) = ( n über k ) * p ^k * ( 1 - p ) ^{( n - k )}

gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der man bei n gleichartigen Versuchen, von denen jeder mit einer Wahrscheinlichkeit p zum Erfolg führt, genau k Erfolge erzielt.

Mindestens zwei Gewinne erzielt man, wenn man nicht höchstens einen Gewinn erzielt, also:

P ("mindestens zwei Gewinne")  = 1 - P ("höchstens einen Gewinn" )

"höchstens einen Gewinn" bedeutet: Genau keinen Gewinn oder genau einen Gewinn, also:

P ("höchstens einen Gewinn" ) = P ("genau keinen Gewinn" ) + P ("genau einen Gewinn" )

und somit gilt:

P ("mindestens zwei Gewinne")  = 1 - ( P ("genau keinen Gewinn" ) + P ("genau einen Gewinn" ) )

Mit Hilfe der oben angegebenen Binomialverteilung kann man nun diese beiden letztgenannten Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Es ist:

n = 10 Spiele
p = 0,1 

Damit gilt:

P ("genau keinen Gewinn" )
= P ("genau k = 0 Gewinne" )
= B ( n = 10 ; k = 0 ; p = 0,1 ) = ( 10 über 0 ) * 0,1 ⁰ * ( 1 - 0,1 ) ¹⁰ = 1 * 1 * 0,9 ¹⁰
≈ 0,3487 = 34,87 %

sowie

P ("genau einen Gewinn" )
= P ("genau k = 1 Gewinne" )
= B ( n = 10 ; k = 1 ; p = 0,1 ) = ( 10 über 1 ) * 0,1 ¹ * ( 1 - 0,1 ) ⁹ = 10 * 0,1 * 0,9 ⁹
≈ 0,3874 = 38,74 %

 

Somit beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Gewinne:

P ("mindestens zwei Gewinne")  = 1 - ( P ("genau keinen Gewinn" ) + P ("genau einen Gewinn" ) )

= 1 - ( 0,3487 + 0,3874 ) = 0,2639 = 26,39 %

Answer 2

P(mindestens 2 Gewinne) = 1 -P(kein Gewinn) - P(Genau ein Gewinn)

= 1 - 0.9^10 - 10*0.1*0.9^9

Die 10 ist dasselbe wie der Binomialkoeffizient (10 tief 1): Einer von 10 ist ein Gewinn  (Rest Nieten). Dafür gibt es 10 gleichwahrscheinliche Möglichkeiten.